特定の機能を回避するグリッドの色のカウント

グリッドの色付けは、関数です。壊れ長方形でタプルであるを満足 -つまり、長方形のちょうど3つの角が同じ色です。$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

次の質問に興味があります。

関数として、どのように多く -colorings重複する行を避けるため、重複する列、および壊れた長方形（任意のサイズのグリッドのために）存在しますか？$k$$k$

これまでのところ、答えは有限であり、証明できる最高の上限はことがわかっています（以下を参照）。$k^{(1.5 k!)^2}$

また、これは、Gasarchが彼のブログ（およびこのペーパー）で頻繁に語った質問とは異なる質問であることも指摘しておきます。彼はすべての単色の長方形を避けたいのですが、私は単色の長方形を気にしません。それは私が避けたい「壊れた」長方形です。

動機は何ですか？暗号では、我々は（持っているアリスの問題を検討し（持っている）とボブ・両方の学習）合意された機能のために、彼らは超えない学ぶような方法で、。を2次元テーブルに自然に関連付けることができるため、グリッドの色付けができます。この種の問題には、次の形式の特性があります（ただし、表記は異なります）。「は、が壊れた長方形を含む場合にのみ、暗号的に興味深い特性があります。」例については、Kilian91およびBeimelMalkinMicali99を参照してください。$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

そのため、この問題は、私が調査していた暗号化の設定で発生しました。私の目的のために、壊れた長方形と重複する行/列を避けるために、有限数のグリッドカラーリングがあることを知るだけで十分でした。しかし、私は組み合わせの問題自体が面白いと思い、より良い限界が可能になると信じています。

私が証明できる最高の限界：および定義する; したがって、。まず、が少なくとも行の色である場合、重複行または壊れた長方形のいずれかがあることを証明できます。対称的に、列に関して同じことを示すことができます。（証明は非常に基本的で、色の数に関する鳩の巣の原理に従っています。）これから、私たちが気にする色はすべてよりも小さい次元を持っていることがわかります。このようなカラーリングの非常に緩やかな上限。$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

これは2つの方法で改善できると思います。まず、最適値はです。以下着色の（再帰的に定義される）のファミリーであるある大き-coloring、これらの禁止機能を回避します。$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

これらは、これらの禁止された構造を回避する最大の着色であると信じています。$k$

第二に、上記の限界を改善できたとしても、は色付けの総数に対して非常に粗い限界であるという事実があります。これは、可能性のあるすべてのグリッドカラーリングをカウントしますが、その大部分には禁止された機能があると考えられます。$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

固定境界（すべてので機能する漸近式/式ではなく）が必要な場合、1つのアプローチはランダムサンプリングを使用することです：ランダムカラーを繰り返し選択し、基準を満たすかどうかを確認し、試験は成功しました。これにより、基準を満たす色の割合の推定値が得られます。これは、基準を満たす色の総数の大まかな推定値に変換できます（掛けるだけです）。$k$$k$$k^{mn}$

その後、チェルノフ境界を使用して、条件を満たすランダムな色の数の上限と下限を取得できます。これらの境界は、確率（ランダム試行で取得）で保持されます。言い換えれば、これらの境界が間違っているためにランダム試行を選択することは非常に不運でなければなりません。$\ge 1-2^{-100}$