重み付けされた頂点を持つ2部グラフの最小頂点カバーを見つけるアルゴリズムは何ですか？

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重み付けされていない2部グラフの場合、最初に最大マッチングを見つけ、ケーニッヒの定理を使用してそれを頂点カバーに変えることで、最小頂点カバーを見つけることができることを知っています。ノードが重み付けされている場合に使用できる変更はありますか？

ds.algorithms  graph-theory 
— アンドレイ・フェドロフ
ソース
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Shiva Kintaliによって与えられた解決策はあなたの問題を解決しますが、私は簡単なコメントを付け加えたいと思います：ケーニッヒの定理はすべてカーディナリティに関するものです。重みを追加して、最小コストの最大2部マッチングを見つけることもできます（これにはエッジウェイトのアルゴリズムがあります。代わりにノードの重みを使用するのが簡単です）。ただし、最小コストの最小頂点カバーを取得するだけではありません。最小コストの頂点カバー（つまり、より多くのノードで構成される可能性があります）。カーディナリティーの制約/最適化のない最小コストのマッチングは空になります（正の重みの場合）…
— Magnus Lie Hetland

回答:

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重み付き頂点カバーの問題は、整数プログラムとして定式化できます（http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_coverを参照）。入力グラフが2部グラフの場合、このIPの制約行列は完全にユニモジュラです。したがって、このIPは多項式時間で解決できます。

総ユニモジュラ行列と対応するアルゴリズムの詳細については、Alexander Schrijverによる優れた（3巻）本を参照してください。

— シヴァ・キンタリ
ソース
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より正確には、IPは、LP緩和を解決するだけで解決できます。さらに、LPの双対は（頂点カバーインスタンスの頂点の重みに対応する容量を使用した）マッチングの一般化であり、通常の方法で最大フローに削減することで解決できることに気づくでしょう。
— Chandra Chekuri
— xuhdev
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