TCSの美しい結果

最近、私の友人（TCSで働いている）が会話で、「生涯のTCSの美しい結果のすべて（または可能な限り）を見たり知りたい」と述べました。この種のことで、この分野の美しい結果と、次の質問の動機について疑問に思いました。

あなたの意見では、理論計算機科学ではどの結果（またはアイデア）が美しいですか？理由も述べていただければ幸いです。[アイデアが数学に由来する場合でも問題はありませんが、TCSでの関心が高まり、用途が見つかりました]

カントールの対角論としての答えから始めます。それはシンプルでエレガントでありながら強力な結果だからです。

停止する問題の決定不能性。

多くの理由で美しい。それは不可能な結果です。証明は対角化を使用します。この声明は、広範な計算モデルに適用されます。特に標準のプログラミング言語を使用して、さまざまな方法で定式化できます。これは、コンピューティングの歴史における重要な結果でした。このステートメントを拡張すると、ライスの定理、チューリング度、およびその他の多くのクールな結果が得られます。等等

私の意見では、Curry-Howardの通信は最も美しい理論的結果の1つであり、私を研究に駆り立てたものです。

2つのシステム、一方ではプログラム、他方では証明はまったく同じ構造を持っているという考え方は、ほとんど哲学的な性質を持っています。一般的な「推論パターン」はありますか？

Diffie-Hellmanキー交換スキームなどの公開キー暗号化の可能性。

安全でないチャネルで秘密を交換する前に、人々は会わなければならないという非常に強い先入観を破ります。

ユークリッドのアルゴリズムには今でも驚いています。私にとって、それは人間の思考力の証です- 人々はそのようなアルゴリズムを非常に早期に思いつくことができたということです（私の記憶を信頼すれば紀元前300年頃）。

早送り、主題に関する麻痺した文献があります。スコットアーロンソンのリストは、この点で役立つはずだと思います-ただし、アーロンソン自身は完全ではない（完全に理論的ではない）と述べています

フォンノイマンのミンマックス定理を使用して、ランダム化アルゴリズムの下限を証明するYaoの手法。私はこの世界の何かとしてそれを見つけます。

Lovasz Local Lemmaを含む構築が困難であるとわかったオブジェクトの存在を証明する確率的方法。これらのテクニックはとてもシンプルですが、とても強力です。

多項式を使用したMadhu Sudanのコーディング理論構築。

エキスパンダー（これはラマヌジャングラフとして始まりました）およびエクストラクターと、疑似乱数性におけるそれらのアプリケーション。

CooleyとTukeyのDFTを見つける高速フーリエ変換アルゴリズム。（ただし、Tukeyが想定しているように、これは少なくともGaussに知られている有名なテクニックの再発見でした！）

バリントンの定理（当時の非常に驚くべき結果）

並列反復定理（結果は素晴らしいですが、証明は簡単ではありません）

グラフのシャノン容量を推定するためのLovasz Theta関数。

LPがPにあることを示した楕円アルゴリズムは、多くの人がまだNP完全であると疑っていたときに多くの人を驚かせました。

驚くべきことに、まだ追加されていない最も明らかな答えの1つです。公平に見るために何かをやりすぎることがあります。NP完全性の理論は、クック/レビンによって開始され、その遍在性の早期の示唆を与えたカルプによってすぐに増幅されました。多くの点で、これは現代のTCSと複雑性理論の誕生であり、そのコア/キー/悪名高い質問P =？NPは、40年にわたる激しい研究/攻撃の後、まだ開かれています。P =？NPは、そのソリューションに対して100万ドルのClaymath賞を受賞しています。

クックの証明はNDTMを導入しました。NDTMは、単なる理論上の好奇心ではなく、TCSのほぼ極めて基本的な部分です。いわば千隻の船を打ち上げました。さらに、このリストに記載されている他のキー/パワフルなTCSテクニックの1つであるBGS-75 Oracle / Relativizationの結果に見られる対角化を介して、常に努力に抵抗/拒否します。 Razborov-Rudich Natural Proofsペーパー（2007 Godel賞）でさらに提案/拡張されたソリューション。

subjには多くの参照がありますが、最近の歴史の1つ目の説明を含む最近の参照は、RJリプトンによるP =？NP質問とGodelのLost Letterにあります。

コルモゴロフの複雑さと非圧縮性の方法。

コルモゴロフの複雑さに基づく非圧縮性手法は、証明を定式化する新しい直感的な方法を提供しました。非圧縮性メソッドを使用した典型的な証明では、まず、議論中のクラスから非圧縮性オブジェクトを選択します。引数は常に、目的のプロパティが保持されない場合、仮定とは対照的に、オブジェクトを圧縮することができ、これにより必要な矛盾が回避されると言います。

素数の無限数、ゲーデルの不完全性定理の別の証明、又は存在することを証明例えば参照コルモゴロフ複雑性と計算量との間の接続は、....

私は、Kleeneの2番目の再帰定理に驚いていました（そして今でもそうです）。表面的には、単純で非常に有用ではないように見えますが、後で数学的にも哲学的にも深いことがわかりました。

Turing Machinesで証明されたバリアントについても読んだとき（非常に非公式に、マシンは独自の説明を取得できる、またはそれ自体を印刷するプログラムのように、独自の説明を出力するマシンがあることを述べています）とても難しいが、かつてないほど興味をそそられた。次に、定理がどのように使用されて問題を止めることができないか、最小のマシンを認識できないかなどを1行で証明する方法を確認します。

シャノンのソースおよびチャネルコーディング定理。

送信、受信、およびメディアを区別し、メッセージのセマンティクスを無視した数学的定義は大きな一歩でした。エントロピーは、データのコンテキストでは、非常に便利な概念です。なぜなら、情報理論はもっとよく知られるべきだからです。

PCPの定理に基づいた美しい結果は、満足できるものであっても3SAT式の7/8以上の節を満たすことは計算上困難（NP困難）であることを示しています。

BQPの因数分解アルゴリズムを短縮します。私の意見/記憶では、量子計算は1994年のこの結果までは単なる理論上の好奇心でしたが、その時点で、QMコンピューティングに関する文献や研究への関心が爆発したようです。おそらく間違いなく既知の最も重要なQMアルゴリズムの1つです。1999ゲーデル賞を受賞。また、QM計算のファクタリングは、たとえば、ファクタリングがNP完全であるかどうかの問題がまだ開かれている従来のコンピューティングよりも、ある意味で実際にある程度理解されていることも明らかにします。

私には、AKS P時間素数テストはさまざまな意味で非常に美しいようです。当時の突破口は、私たちの生涯の複雑性理論に見られる、偉大ではあるがかなりまれな突破口の一つです。ギリシャの古代にまでさかのぼる問題を解決し、発明された初期のアルゴリズム（エラトステインのふるい）のいくつかに関連しています。つまり、素数を効率的に識別します。残念なことに非構造的である多くの優れた証明とは対照的に、Pでの素数検出の建設的な証明です。

別の回答で言及されているRSA暗号化アルゴリズムに相互接続されているのは、そのアルゴリズムが大きな素数をすばやく見つける必要があるためです。AKSアルゴリズムの前は確率的にのみ可能でした。それは、数論と他の深い問題に根本的に関連しています。例えば、多くの点でアルゴリズムの元の領域であるリーマン予想です。

2006年のゲーデル賞と2006年のフルカーソン賞を受賞

ロバートソンとシーモアによるグラフマイナー定理は、私がこれまでに見た（そして部分的に読んだ）最も素晴らしい理論だと思います。まず第一に、それは静かで複雑ですが、基本推測は難しくなく、TCSで働いている誰もが推測できるかもしれません。それらを証明するための彼らの極端な努力は素晴らしいものでした。実際、そのシリーズの論文のいくつかを読んだ後、人間の心の力を理解しています。

また、グラフのマイナー定理は、TCSのさまざまな分野に大きな影響を与えます。グラフ理論、近似アルゴリズム、パラメータ化されたアルゴリズム、ロジックなど...

私のお気に入りの結果の1つは、一見無限に見える性質のさまざまな問題を決定できることです。

1. 実際の閉じた場の1次理論は決定可能です（Tarski著）。ユークリッド幾何学は実閉体の公理のモデルでもあるため、Tarskiによると、このモデルの1次ステートメントは決定可能です。
2. プレスバーガー算術は決定可能です。
3. 代数的に閉じた体（複素数を含む）の一次理論は決定可能です。
4. 無限（および有限）単語上の単項2次論理は決定可能です。証明はエレガントで、大学生に教えることができます。

確率的アルゴリズムについては素晴らしい結果がたくさんありますが、それは一見シンプルであり、計算についての考え方を大きく前進させるものです。

偏りのある公平なコインを実装するためのフォン・ノイマンのトリック。現在、確率論的アルゴリズムに慣れていますが、外部から見ると、これは信じられないほどクールです。アルゴリズムと証明の両方は、高校生の確率を知っている人なら誰でもアクセスできます。

Tim Griffinによる結果は、などの演算子を制御しcall/cc、カリーハワード対応を拡張する古典的なロジックに関連しています。

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$、決して戻ります。それがまさに継続であり、通信を機能させるものです。

彼の論文「A Formulae-as-types control of control」は、1990年のPOPLに掲載されています。

私のお気に入りは、平面内の最も近い点のペアを計算するためのRabinの線形時間アルゴリズムです（より正確にはその単純化）。計算モデルの重要性、ランダム化されたアルゴリズムの能力、およびランダム化されたアルゴリズムについて考える洗練された方法を理解します。

これは、CSが数学で出会う優雅さのレベルを達成するにはまだ程遠い（まあ、5000年のヘッドスタートがあった）、微積分、トポロジー（不動点定理）、組み合わせ論、幾何学（ピタゴラスの定理httpの基本的な定義/結果から）：//en.wikipedia.org/wiki/File：Pythag_anim.gif）など

あなたが美しさを探しているなら、どこでもそれを探してください...

この結果は、おそらく基本的なものとして認定されるのは少し最近のことですが、ホモトピー型としての型の解釈は適格だと思います。このビューでは、建設的な型理論からの型を特定の幾何学的特性（この場合はホモトピー）を持つセットとして解釈できます。

型理論に関する以前の複雑な観察を簡単にするため、この観点は特に美しいと思います。たとえば、「公理K」は導出できないという事実です。。

Steve Awodeyによるこの新進分野の概要は、ここにあります。

ゼロ知識証明は非常に興味深い概念です。証明者であるエンティティが、検証者である「証明者」に（高い確率で）「秘密」（NP問題、ある数のモジュラー平方根、離散いくつかの番号などのログ...）秘密についての情報をまったく提供せずに（一見困難です。なぜなら、秘密を知っていることを証明する最初のアイデアは、実際に秘密を伝えることであり、秘密を知っていると信じている検証者は、事前に秘密に関する検証者の知識を増やすことができるだけです）。