非CFLクロージャープロパティ

学生から次の質問を受けましたが、完全な答えを出すことができませんでした。

コンテキストフリーではない言語のクラスのクロージャープロパティはありますか？

交差と反復の下で閉じていないことを示す例（Kleeneスター演算子）を見つけるのはかなり簡単ですが、結合と連結についてはどうでしょうか。私の推測では、どちらでも閉鎖されていないので、私が遠くに行かない限り、私が探しているのは、それらの結合または連結がCFLである2つの非CFLの例です。

コンテキストフリーではない言語のクラスには、「興味深い」および「自然な」クロージャープロパティはほとんどないか、まったくありません。実際、それはおそらく本当です：

• 特定のオートマトン、文法、または計算モデルによって定義される言語のクラス-通常の言語、cfl、線形言語や決定論的cflなどのcflのさまざまなサブクラス、状況依存言語、境界言語、など。

• たとえば、{ } を含む最小のファミリーのようなクロージャプロパティによって実際に定義され、通常の操作と変換の下で閉じられるクラス。実際、AFLの理論はすべてそのようなものに関するものでした。$a^n b^n$

その理由は、「興味深い」クロージャプロパティのほとんどまたはすべてが、言語を大幅に簡略化する能力を持っているためです。たとえば、有限セットまたは同等に単純なものにマップします。たとえば、常に定数準同型（h（a）= 0）を非文脈自由言語に適用し、すべてのゼロの文字列の言語を取得できます。これは文脈自由（実際には規則的）です。したがって、クラスの定義がそれをあまり「単純」ではない（非コンテキストフリーのように）必要としない場合、クロージャは「単純な」言語、つまりクラスの外側に移動します。

これは実際に興味深い研究プロジェクトになるかもしれませんが、その一部は、私が推測するのは危険ですが、「単純」、「興味深い」、「自然」を適切な方法で定義し、些細な問題に対処する正式な方法を見つけることです。私が与えたような退化したケース。

結合と連結演算は、そのような理論の1つのテストになります。連結する非cflとそれに結合する他のcflが2つあると推測します。1文字以上の非cflから始めるので、あなたは本当に数論と線形代数を話しているのです。$\Sigma^*$

補遺-ここに確実に連結する2つの言語があり、ほとんどの場合、文脈自由ではありません。$a^*$

$\{a^{n-i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

$\{a^{n+i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

なんらかの理由でCFが判明した場合は、よりも奇妙な関数を使用してください。$\sqrt x$