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有限集合を考えるとの点のRの D、どのように我々は、効率的に「最も孤立点」を計算することができますのx ∈ Sを？SSSRdRd\mathbb R^dx∈Sx∈Sx\in S 「最も孤立したポイント」をxxx x=argmaxp∈Sminq∈S∖{p}d(p,q)x=arg⁡maxp∈Sminq∈S∖{p}d(p,q)x = \arg\max_{p \in S} \min_{q \in S \setminus \{p\}} d(p,q) （必ずしも一意であるわけではありませんが、表記を使用しました。ここで、はユークリッド距離を示します。）つまり、最も近い近傍までの距離が最大のポイントを探しています。x=argminx=arg⁡minx=\arg\minddd 単純なアルゴリズムは、すべてのペアワイズ距離を計算し、すべてのポイントの距離が最小のネイバーを見つけ、それらの最大値を見つけます。これは演算を必要としますが、それよりもうまくできるでしょうか？O(n2)O(n2)O(n^2)

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私は、KD-TreeがKで指数関数的であるという高次元最近傍探索に関する多くの論文を読みましたが、その理由を特定することはできません。 私が探しているのは、問題のこの側面を説明する堅固な実行時の複雑さの分析です。

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集合所与の球上の点、及び別の点球上、私が検索するの点（ユークリッド又は大圏距離）最も近いです。SSSNNNPPPkkkSSS 私は、かなりの量の事前計算をする用意があります。ソリューションは正確かつ効率的でなければなりません（線形時間よりも高速）。

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私は合理的にスペース効率が良い（つまり、最大で使用される）3Dの最近傍クエリに答えるためのデータ構造を探しています O （ん1 + ϵ）O(n1+ϵ)O(n^{1+\epsilon}) スペース）と高速（O （んε）O(nϵ)O(n^{\epsilon}) または O （l ogk（n ））O(logk(n))O(log^k(n)) 最悪の場合のクエリ時間）。 私がすでに知っていることの要約として： 1Dは簡単です（ポイントを並べ替えてバイナリ検索を使用するだけです）。 2Dは少しトリッキーですが、ポイント位置データ構造+ボロノイ図を使用すると、 O （n ）O(n)O(n) スペースと O （l o g（n ））O(log(n))O(log(n)) クエリ時間。 3D以上では、一連の点のボロノイ図は O （んfl o o r （d/ 2））O(nfloor(d/2))O(n^{floor(d/2)})。 私はkdツリーまたはグリッドベースの方法に基づくおおよその手法を知っていますが、これらは点の均一な分布または最近傍への距離について何かを仮定することに依存しており、すべてのケースでそれほどうまく機能しません。私はこれらのランダム化または近似解には興味がありません-最悪の場合、どのデータセットでも機能するものが欲しいです。これを行うものはありますか、またはこのアイデアを水から吹き飛ばす下限がありますか？

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