二部グラフへの最小の頂点削除がNP完全であることを示す

入力インスタンスが単純なグラフと自然整数ある次の問題を考えます。$G$$k$

が二部であり、ようなセットがありますか？$S \subseteq V(G)$$G - S$$|S| \leq k$

この問題が -completeであることを示したいと思います。3-SAT、 -CLIQUE、 -DOMINATING SET、または -VERTEX COVERのいずれかをそれに削減することです。$\rm{NP}$$k$$k$$k$

私は3-COLORINGの問題をそれに減らすことができると信じているので、言及された問題の1つをそれに減らす方法を見るだけで済みます。しかし、それはかなり厄介なものになるので、誰かが前述の問題のエレガントな削減を見たのではないかと思います。

また、この決定問題に名前はありますか？

あなたの問題は、ノード削除問題と呼ばれる幅広い種類の問題の特別なケースです：

JMルイスとM.ヤナカキス、「遺伝的特性のノード削除問題はNP完全です」

...このペーパーでは、次のように定義されたグラフ問題のクラスを扱います。
固定グラフプロパティ場合、結果が満たすように特定のグラフから削除する必要があるノード（または頂点）の最小数を見つけます。。これをノード削除問題と呼びます。我々の結果は、場合ことを示してある自明であるプロパティ遺伝誘発部分グラフで、その後のノード・削除問題 NP困難です。さらに、をテストするという条件を追加するとG Π Π Π Π Π $\Pi$$G$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$多項式時間で実行できる場合、この結果は、ノード削除問題がNP完全であることを意味します。...$\Pi$

あなたの問題は2者間のノード削除の問題ですが、（Palによって指摘されているように）今日は奇数サイクルトラバーサル（OCT）問題として知られています。

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直接削減については、これを3SATから考えました。

3つのSATのインスタンスに変数と句を指定して、次のグラフを作成します。変数ごとに2つのノードを追加し、それらの間にエッジを追加します。真理値の割り当てをシミュレートするには、各変数ノードを追加し、それらをと両方に接続します。このようにして、最大ノードを削除する2部グラフを作成するには、と間の少なくとも1つを削除する必要があります。最後に、各句は4つのノードを追加し、の変数を接続する奇数サイクルを構築し。mはxはiが、¯ xはI N + 1 X I 、X I ¯ X I N X I ¯ X I C J C $n$$m$$x_i, \overline{x_i}$$n+1$$x_i$$x_i$$\overline{x_i}$$n$$x_i$$\overline{x_i}$$C_j$$C_j$

結果のグラフは、元の3SAT式が満足できる場合にのみ、最大ノードを2部削除することができます。$G$$n$