「NP完全」最適化問題

最適化の問題の複雑さに関して出くわした用語に若干混乱しています。アルゴリズムのクラスでは、NP完全として記述された大きな節約の問題がありました。しかし、最適化問題の文脈でNP完全という用語が何を意味するのか正確にはわかりません。これは、対応する決定問題がNP完全であることを意味するだけですか？そして、それは最適化の問題が実際にはもっと難しいかもしれないことを意味しますか（おそらくNPの外で）？

特に、NP完全決定問題は多項式時間検証可能ですが、対応する最適化問題の解決策は多項式時間検証可能ではないようです。それは、問題が実際にはNPにないことを意味しますか、それとも多項式時間検証可能性はNP決定問題の特性に過ぎないのですか？

部分的な回答の試み：

決定アルゴリズムは、近似アルゴリズムの観点から扱われるという意味で、最適化問題が明らかになる前にしばらく調査されていました。

意思決定の問題から概念を引き継ぐときは注意する必要があります。それを行うことができ、最適化問題のNP完全性の正確な概念を与えることができます。この答えを見てください。もちろん、意思決定問題のNP完全性とは異なりますが、同じアイデア（削減）に基づいています。

実行可能な解決策による検証を許可しない最適化の問題に直面している場合、できることはあまりありません。そのため、通常は次のことを想定しています。

• 入力が実際に最適化問題の有効なインスタンスであるかどうかを効率的に検証できます。
• 実行可能な解のサイズは、入力のサイズによって多項式で制限されます。
• ソリューションが入力の実行可能なソリューションであるかどうかを効率的に検証できます。
• ソリューションの価値は効率的に決定できます。

そうでなければ、私たちが成し遂げることを望むことができる多くはありません。

$\mathrm{NP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{NP}$

解決策が実行可能であるだけでなく最適であることを確認したい場合、これは元の最適化問題を解くのと同じくらい難しいと言えます。より良い解決策を提供する必要がありますが、真の最適な解決策を見つける必要があるかもしれません。

しかし、それは最適化の問題がより困難であることを意味しません。もちろん、正確な定義に依存するこの回答を参照してください。

ほとんどの最適化問題がP、NP、NP完全などに分類される理由は、Kuhn-Tucker条件です。線形プログラミングの問題について説明しますが、KTCは他の多くの最適化問題にも適用されます。最適化の問題ごとに、デュアルがあります。元の問題の目標が何らかの機能を最大化することである場合、デュアル（通常）には最小化する機能があります。 -その逆。解決策がプライマリとデュアルで実行可能である場合にのみ、それは両方にとって最適な解決策です。（技術的には、同じ結果をもたらす多数の最適なソリューションの1つである可能性があります。）

したがって、最適化問題の最適な解決策を見つけることは、プライマリおよびデュアルの有効な解決策を見つけることと同等です。最適化アルゴリズムを使用してその解決策を見つけることもできますが、全体的なプロセスは存在証明です。

• 最小化から最大化に切り替えたい場合は、目的関数に-1を掛けます。