同じ構成を2回繰り返すチューリングマシンを無限ループにする必要があるのはなぜですか？

私は次の声明を見ましたが、その背後にある理由がよくわかりません。

チューリングマシンが同じ構成を2回繰り返す場合、それは無限ループでなければなりません。

はの状態になり、テープが左側000と右側111 にあると考えました。、が右に移動してから左に移動し、同じ状態のままであるとします。同じ構成ではないですか？$TM$$q_1$

これは、TMの遷移関数が確定的であるためです。構成が同じ場合、の引数も同じであり、無限ループになります。正式には、これは@ gnasher729のように証明できます。$\delta$$\delta$

あなたの例を考えてみましょう。が次のように動く場合、$TM$

$$(q_1, \dots00[0]111\dots) \xrightarrow{q_1, \text{right}} (q_1, \dots000[1]11\dots) \xrightarrow{q_1, \text{left}} (q_1, \dots00[0]111\dots)$$

その後、最後のステップは最初のステップと等しくなります。これは、無限ループを意味します。

チューリングマシンがnステップ後の状態Xにあり、n + mステップ後もまったく同じ状態Xにある場合、ステップn + mからステップnで実行したアクションとまったく同じアクションを繰り返します。 n + 2mは再びステップXになり、ステップn + 3m、n + 4mの後も同様です。つまり、無限ループに入っています。

あなたの例は、2つのステップの後で再び同じ状態に到達した場合でした。したがって、m = 2です。

_{記号、矢印、ギリシャ語のない@nekketsuuの回答のバージョン：}

マシンの構成は、マシンが次に何をするかを決定します（帰納的に、その全体を決定します）。したがって、特定の構成の後に何が起こるかが、さらにいくつかの手順で再度到達した場合、これは何度も何度も繰り返され、終わりはありません。

これは、すべての確定的マシンに当てはまります。ターニングマシン、（確定的）有限オートマトン、（確定的）スタックオートマトンなど。