密なNP完全言語はP = NPを意味します

ような多項式が存在する場合、言語は密であると言いますすべての換言すれば、任意の所与な長さのためにの長さの唯一の多項式多くの単語が存在ではない$J \subseteq \Sigma^{*}$$p$

私が現在勉強している問題は、次のことを示すように求めています

密な完全言語が存在する場合、$NP$$P = NP$

テキストが示唆しているのは、 -への多項式簡約を検討し、要素も生成しながら、指定された式を満たそうとするアルゴリズムを構築すること$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

私が思っているのは

もっと直接的な証拠はありますか？この概念はより一般的な設定で知られていますか？

これは、マハニーの定理に関する素晴らしい宿題の問題です。

「密」言語の補語は疎言語であることに注意してください。さらに、言語が -completeの場合、その補数は -completeです。$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

「密な」完全な言語がある場合、まばらな完全な言語があります。$\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Mahaneyの定理は、ない限り、疎な完全な言語は存在しないことを示しています。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

がと同等でない限り、完全な言語が存在しないことを示す証明を採用できます（は補完の下で閉じられます）。$\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

要約すると、ない限り、答えはノーです。もしそのノート、その後すべての自明でない言語である -complete。$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ps：以下を試してから、マハニーの定理を使用することができます。スパース -completeセットがある場合は、スパース -completeセットがあります。しかし、この声明の証明は、マハニーの定理の証明よりもはるかに簡単だとは思わない。$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

上記のように、マハニーの定理によれば。 ない限り 、疎言語と密言語はなりません。$NP-Hard$$P=NP$

上記のドラフトには完全な証拠が含まれています。