ナップザックの問題—動的プログラミングソリューションにもかかわらずNP完全ですか？

ナップザックの問題は、動的プログラミングで簡単に解決できます。動的プログラミングは多項式時間で実行されます。それが我々がそうする理由ですよね？

私はそれが実際にNP完全な問題であると読んだことがありますが、それは多項式問題で問題を解くことはおそらく不可能であることを意味するでしょう。

私の間違いはどこですか？

ナップザック問題は、数値が2進数として与えられた場合、です。この場合、動的プログラミングは、を完了するために指数関数的に多くのステップ（入力のサイズ、つまり入力のビット数）を取ります。$\sf{NP\text{-}complete}$$\dagger$

一方、入力の数値が単項で与えられた場合、動的計画法は多項式時間（入力のサイズ）で機能します。

この種の問題は、弱い$\sf{NP\text{-}complete}$と呼ばれ。

$\dagger$：入力の提供に使用されるエンコーディングの重要性を理解するもう1つの良い例は、通常のアルゴリズムを検討して、数値がからまでの素数であるかどうかを確認し、それらのいずれかが分割するかどうかを確認することです これは多項式ですが、必ずしも入力サイズではありません。がバイナリで与えられる場合、入力のサイズはあり、アルゴリズムは時間内に実行されますこれは入力サイズで指数関数的です。そして、問題の通常の計算の複雑さは、入力のサイズです。$2$$\sqrt{n}$$n$$n$$n$$\lg n$$O(\sqrt{n}) = O(2^{\lg n/2})$

この種のアルゴリズム、つまり、入力の一部である最大数の多項式ですが、入力長の指数関数は疑似多項式と呼ばれます。

主な混乱は、「サイズ」と「値」の違いにあります。

「多項式時間」は、入力のサイズに関する多項式を意味します。

「疑似多項式時間」は、入力の値に対する多項式を意味します。これは、入力のサイズに対して指数関数的であることと同等であることを示すことができます。

つまり、が入力のサイズを表し、が入力の値を表すとします。$N_{size}$$N_{val}$

多項式時間： ための$O(N_{size}^x)$$x\in\mathbb{N}$

疑似ポリ。時間： ための$O(N_{val}^x)$$x\in\mathbb{N}$

ここで、ナップザック問題には、多項式ではなく擬似多項式の解があります。これは、動的計画法の解決が値に依存する実行時間を与えるためです。つまり、で、は最大容量を表す値です。$O(nW)$$W$

これで、値を表すために必要な桁数で表現することで、値をサイズに変換できます。 は、基数を使用してを表すために必要な桁数を示します。これはで解決できます：$N_{size}=Log_b(N_{val})$$N_{val}$$b$$N_{val}$

これを擬似多項式時間定義に接続すると、指数関数的であることがわかり。$N_{size}$

疑似ポリ。時間： for$O(b^{xN_{size}})$$b, x\in\mathbb{N}$

ナップザック問題で定義されるようにカープの論文は、ナップザックに（この場合の正確なカバー、）他のNPCの問題から減少があるので、NP完全です。これは、でない限り、ナップザック問題のすべてのインスタンスを解決できる多項式アルゴリズムがないことを意味します。$\text{P}=\text{NP}$

しかしながら、異なる変種（例えば、0-1ナップザックや他人または多項式時間溶液または良い近似があってもなくてもよいです）。しかし、これは一般的なナップザックの問題とは異なります。また、特定の（ファミリー）インスタンスで機能する効率的なアルゴリズムが存在する場合がありますが、これらのアルゴリズムは他のインスタンスでは時間がかかります。