サブセット合計バリアントの複雑さ

このサブセット合計問題のバリアントは簡単ですか？

整数所与、正の整数の集合すべてので最大でビットが設定されるようにします（ $m$ $A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ $x_i$ $k=2$ $1$ ）。サブセットが存在するその要素の合計が等しくなるように？ $x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$ $A' \subseteq A$ $m$

それはである？まだ -completeですか？ $\sf{P}$ $\sf{NP}$

そして、すべてのに最大でビットが設定されているとしたら？以下のためにの問題は自明です。 $x_i$ $k=3$ $1$ $k=1$

complexity-theory reference-request decision-problem

— ヴォル
ソース

であっても、それはまだ完全です。サブセットの合計のインスタンスが与えられた場合、数値を分割していくつかのビットを追加することにより、それをこのバリアントに変換できます。 $\sf{NP}$ $k=2$

まず、問題のすべての数値の合計は、値によっては未満になります。 $2^m$ $m$

ここで、ビットが設定されている元の問題から数値を取得します。これらの数の合計がなるように、この数を正確に2ビットが設定された個の数に分割します。我々は見つけることによって、再帰的にこれを行うことができ番号をその第一の和までビット+ と番号、最後に合計最大ビット+ $n$ $k$ $k$ $n+2^{k+m}$ $\lceil{k}\rceil$ $\lceil{k}\rceil$ $2^{k+m-1}$ $\lfloor{k}\rfloor$ $\lfloor{k}\rfloor$ 。 $2^{k+m-1}$

その数に加えて、問題にを追加します。解には、この数、または以前に作成された数のすべてが含まれている必要があります。元のターゲット値があった場合、新しいターゲット値はます。 $2^{k+m}$ $k$ $t$ $t+2^{k+m}$

元の問題に複数の数値があった場合は、このプロセスを繰り返して、新しい値にを取ります。 $k+m+1$ $m$

位置のビットのみ2つの方法があり設定することができる：答えは数含めることができますの又は全てその合計最大数を。したがって、サブセット合計をサブセット合計バリアントに削減しました。 $k+m$ $2^{k+m}$ $k$ $n+2^{k+m}$

一例として、レッツテイク目標値に。この問題は、次の2進数を使用することにより、ここで提示するサブセット合計バリアントとしてエンコードできます。 ${\{2,3,5\}}$ $7$

2はとマッピングされます。（ここでは、余分なビットを使用する必要はありません。） $0100\ 1$ $0000\ 1$

3にマッピングされると $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$ $0000\ 00\ 01$

図5ににマッピングされると。 $1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$ $0000\ 00\ 000\ 01$

新しい目標値はます。 $1110\ 10\ 010\ 01$

元の問題がビットで表されている、変換された問題は最大でビットです。元の問題には、最大で個の数値があり、それぞれに最大で個のビットがあるため、それらすべての合計もO（n）になります。変換された問題には数値があります（各ビットの数値はビットの数値に分割され、長さが最大で $n$ $O(n^4)$ $O(n)$ $O(n)$ $O(n^2)$ $n$ $n+1$ $2$ $O(n^2)$ 各数値に追加ビットを使用するためです。したがって、変換された問題の合計サイズはビットです。 $n$ $O(n^4)$

— トムファンデルザンデン
ソース

エンコーディングが作業テープの指数関数的なサイズにつながらないことを確信していますか？

— はVor

いいえ、変換された問題のサイズは四次です。入力がnビットの場合、それぞれnビットが設定された最大n個の数値があります。したがって、変換された問題にはO（n ^ 2）の数値が含まれます（kビットの数値はk + 1の数値に分割されるため）。各数は（2n）ビット長で、元の問題のn個の数のそれぞれの最大合計+ nビットに対応します。したがって、各数値にはO（2n + n ^ 2）ビットが含まれ、合計でO（n ^ 4）ビットになります。

— トムファンデルザンデン2013年

@TomvaderZanden：質問に対するあなたの削減の写真を追加しました。私がそれを正しく解釈したかどうかを確認してください

— Vor

@TomvaderZanden：今日私はあなたの削減をもう一度見ますが、

ビットが設定された任意の数

から、「最高」の部分の合計が

になる

2ビット数にそれを分割する方法は不明です。もし番号があると

と

ビットセット。13個の2ビットの数値が必要ですが、13は1101であり、2ビットの数値で「カバー」することはできません（この例は、3と5のk = 2で機能するため機能します）。これは、

2ビットの数値ごとに異なる上位ビットを使用すれば、簡単に修正できると思います。それらは合計で01111 ... 1になり、次に合計が

になるダミー0000 ... 1を追加します。

n

$n$

k

$k$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

n

$n$

k = 13

$k=13$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

— Vor

少しあいまいですが、「帰納的」な手順を使用することは確かに可能です。実際には

ビットは必要ありません。必要なのは

です。あなたは、最大13 1ビットの数値その合計を検索したい場合は

、あなたは合計最大という6つの番号を見つける必要がある

も合計して7

。

をとることができますが、これは合計で

ます。

k

$k$

c e i l (\log k)

$ceil(\log k)$

2^{4}

$2^4$

2^{3}

$2^3$

2^{3}

$2^3$

10 * 2^{0} + 3 * 2^{1}

$10*2^0+3*2^1$

2^{4}

$2^4$

— トムファンデルザンデン2013年

これは、Vorによる質問から抽出された情報です。

以下のための問題は、NP完全のまま。モノトーンX-SATからの迅速な削減が見つかりました（削減のスキーマはこちらを参照してください）。 $k \geq 3$

問題は、たとえでです。詳細については、トムの回答を参照してください。これは、サブセットサムからの彼の削減の小さな表現です： $k = 2$

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— 十保
ソース