前提条件について別の質問をすることで謝罪するかもしれませんが、出発点については混乱していました。「モーダルロジック」、「テンポラルロジック」、「1次ロジック」、「2次ロジック」、「高次ロジック」などのさまざまな用語に遭遇しました。

この文脈で「論理」とは正確に何を意味するのでしょうか？「論理」という言葉をどのように厳密に定義しますか？

数冊の本の最初のページを読んだ後、「ロジックは何から何を決めるかであり、プログラムを自動的に推論し理解するプログラムの設計を指示し促進するため、プログラミング言語の設計において重要であると結論付けることができます。 2番目の点について少し詳しく説明します。

今、これらのロジックに来ています。

これらのすべての論理、「時相論理」、「モーダル論理」、「一次論理」、「高次論理」は互いに独立していますか、またはこのグループの他のいくつかを理解するためにこれらの論理のいくつかを理解する必要がありますか？一言で言えば、それらの前提条件は何ですか？（いくつかの資料についても提案が得られれば素晴らしいと思います。）

PS：親切にしてくれてありがとう

基本的に、ロジックは2つのもので構成されます。

• 構文は、式の有無を決定する一連のルールです。
• セマンティクスは、どの式が「真」で何が「偽」であるかを決定する一連のルールです。モデル理論家にとって、これは、式をそれらが真実である数学的構造に関連付けることによって表現されます。証拠理論家プルーフルール（技術）の選択されたセットと公理の選択されたセットから証明可能性に、真理対応します。

異なるロジックの違いは、最も単純に、構文とセマンティクスの選択にあります。ほとんどの論理は、命題論理または一次論理の拡張です。ある意味では、これらの拡張機能は、ロジックに「機能を追加する」と見ることができます。たとえば、時相論理は、時間とともに変化する可能性のある真実を扱います。

一般に、これらの機能は、より長い式を記述する必要がありますが、より単純なロジックで表現できます。例えば、時間的概念「  永遠にこの点から真である」すべてのご提案に時間パラメータを追加すると、すべての時間のために「と言って、一次の方法で表現することができる  トンならば、tが  より大きいか等しいです現在の時刻、φ  は時刻tで真  です。」ある意味では、これらのロジックは、基本的なプログラミング言語にライブラリを追加するものと考えることができ、物事をより簡単に言うことができます。$\varphi$$t$$t$$\varphi$$t$

ほとんどすべてのロジックは命題論理と1次論理に基づいているため、最初にそれらについて学ぶことをお勧めします。

コンピュータサイエンス、数学、物理学などの分野は比較的よく組織されていますが、Logicには無秩序な歴史があります。その組織は本当に混乱しているので、フィールドの密な構造を理解するためにいくつかの歴史を読むことが重要だと思います。

あなたが選択するべき道はあなたの背景と目的に依存します。

ロジックとは何ですか？

1. 伝統的な観点では、ロジックは形式言語（構文）、意味（外部の意味、プログラムのインタープリターを考える）、および他のステートメントからステートメントを推測するための一連のルール（のルールを考える）プログラムの削減）。ロジックは純粋に単なる数学的なオブジェクトと見なされます。

2. 現代の視点は、有名なカリー・ハワード同型性を通じて、論理は一貫した型システムであると言います（証明はプログラムであり、型は式です）。より正確には、推論のシステムは、カットエリミネーションの定理と、基礎となるプログラミングシステムが適切に動作することを意味するチャーチ・ロッサーの定理/コンフルエンスの定理を楽しんでいます。

3. $p, q$

   • $P, Q$$P(x_1, ..., x_n)$$Q(x_1, ..., x_n)$
   • 二次論理では、述語の変数は一次のものをとる一種の関数になります。これらは、1次関数を引数として取る関数のように動作します。たとえば、述語と述語の量化を行うことができます。
   • 3次などについても同じ理由です。高次のロジックはどのような順序でも受け入れます。関数などの関数の関数を引数としてとる関数を持つHaskellとOCamlを考えてください。

4. 一般的に、論理が何であるかについてのコンセンサスはありません。一部の哲学者は、一貫した基礎となるプログラミングシステムを持たないシステムを使用します。実際、Logicを使用するすべてのフィールドには、独自のロジックの概念があります。そして、ほとんどの数学者はおそらく論理が何であるかを気にしません。

フィールドの構造

Logicの歴史は大きすぎるので、フィールドの構造だけを説明します。フォーマルロジックの分野は、哲学的、数学的、計算的使用に分かれています。形式論理は19世紀から20世紀に始まります。

• 最初に命題論理と一次論理を研究する必要があります。それらは最も標準的なものです。それらは古代ギリシャの時代の古い論理に形式的/数学的説明を与えるために作成されました。

  • モデル理論（セマンティクス）、論理の観点から数学的構造を研究する
  • 証明理論（構文）は、独立して、数学の対象として証明を研究します。

• 二次論理は命題論理の拡張である一次論理の拡張です。算術は2次で「生きる」ので特に興味深い（誘導を伴う述語の述語）。同様に、トポロジは「三次」に存在します（それ自体が述語とみなされるセットの述語）。

• それからLEJ Brouwerが来ましたロジックを2つにた。

  • $A$$A \lor \lnot A$（除外中央）を保持します。
  • 直観的論理は、除外された中間法およびすべての同等の法を拒否する一種の論理です（技術的および哲学的な理由により、ここでは説明しません）。

• 他の文脈では、哲学者は形式的な論理に興味を持ち、それが哲学的な質問（分析哲学）に答えられると考えました。彼らは独自の独立した論理システム（準一貫性のある論理、関連性のある論理、義務的論理、時相論理、認識論的論理などの様相論理）を作成しました。モーダルロジックは、真実ではなく、可能性、必要性、時間、知識などのモダリティで機能します。これらはすべて上記のロジックとは無関係です。

• $\lambda$

• コンピュータ科学者は、システムの不快感を正式な方法で検証および証明したいと考えていましたが、モーダルロジックが関連しているようです。今日、彼らは時相論理とモーダル論理を使用して、システムを推論します（参照：正式な方法、モデルチェック）。システムは、Automata Theory（たとえば）を介してモデル化され、論理ツールを使用して検証されます。線形時相論理（LTL）および計算ツリー論理（CTL）につながりました。

• 同じ動機で、コンピューター科学者は健全性を検証し、プログラムに関する特性を証明したいと考えていました。そこで、命令型プログラム用のHoare Logicと、より一般的にはSeparation Logicsを発明しました。

• カリー・ハワード同型を研究することにより、新しい論理が出現しました。証明とプログラムで動作する消去と複製と見なされる構造規則（弱体化と収縮）を制限する線形論理。真実の潜在的な無限大が明示されています。この論理は、古典的および直観的論理の一般化であり、計算および手続き型パラダイムに基づく論理のまったく新しい概念を提供するようです。主にコンピューター科学者によって研究されています。

• 線形論理は、論理の構造規則を拒否するサブ構造論理とも呼ばれます。Relevant LogicおよびAffine Logicは、このようなシステムの例です。

要約とパスの選択

• 論理は、命題論理、1次、2次、3次、...、高次（それぞれが前のものを拡張する）になります。

• 既存のシステムのバリアントを作成するルールを追加または削除できます。

  • exclude-middleの削除：直観主義のロジック
  • モダリティの追加：モーダルロジック
  • 矛盾と弱体化を制限する：線形論理
  • 収縮の除去：アフィンロジック
  • 弱体化の削除：関連ロジック
  • 否定の処理方法が異なる：矛盾のないロジック

• 命題および一次論理を最初に学び、そして：

  • 数学に興味があるなら、モデル理論、二次、高次
  • 証明理論、直観主義論理、二次、線形論理、コンピューターサイエンスの基礎に興味がある場合
  • システムとプログラムの検証に関心がある場合は、モーダルロジック、ホアロジック、分離ロジック
  • モーダルロジック、哲学に興味がある場合は一般的な非古典的ロジック

参考文献（書籍）

可能であれば、リファレンスを混在させることを個人的にお勧めします。

• Mathematical Logic（Chiswell＆Hodges）：とても簡潔でシンプルな本から始めましょう。
• ロジックの最初のコース（Hedman）：上記と少し似ていますが、詳細を提供し、計算可能性を考慮します。
• 実践的なロジックと自動推論のハンドブック（ハリソン）：ロジック関連の概念が実際にどのように実装されているかを理解したい場合。自動推論にもっと指向します。
• Logic in Computer Science（Huth＆Ryan）：非常に明確でコンピューター科学者向けです（プログラムとシステムの検証、Hoareロジック、モーダルロジックの実用化、時相ロジック、モデルチェック）。
• 証明理論入門（Buss）：証明理論入門。いくつかの一般的なロジックの後にこれを読む方が良いでしょう。

参考文献（ウィキペディア）

• https://en.wikipedia.org/wiki/Philosophical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2%80%93Howard_correspondence
• https://en.wikipedia.org/wiki/Non-classical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Modal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Computation_tree_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Hoare_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Substructural_logic

これらのロジックはすべて、数学ロジックの下に来ています。

数学論理は、多くの場合、集合論、モデル理論、再帰理論、証明理論の分野に分けられます。これらの領域は、ロジック、特に1次ロジック、および定義可能性に関する基本的な結果を共有しています。コンピュータサイエンス（特にACM分類）では、数理論理学には、この記事では詳しく説明していない追加のトピックが含まれます。それらについては、コンピュータサイエンスのロジックを参照してください。

また、一般的な用語でロジックについて知りたい場合は、この記事が役立ちます。

もともと「言葉」または「話されているもの」を意味するが、「思考」または「理由」を意味するようになるロジックは、最も一般的な真理の法則に関係する主題であり、現在一般的に体系的な研究からなると考えられています有効な推論の形式。有効な推論とは、推論の仮定とその結論の間に論理的なサポートの特定の関係がある場合です。