可変2D配列のプレフィックス合計

M[n][n]整数の2D配列があるとしましょう（実際、バイナリは問題ありませんが、問題ではないかと思います）。次の形式のクエリの繰り返しに興味があります。座標ペア与えられた場合、は何 もちろん、これらの値はすべて合計時間で計算でき、その後、クエリはます。ただし、私の配列は変更可能であり、値を変更するたびに、明らかな解決策として更新が必要です。$k,l$

上に四分木を作成できますM。前処理にかかる、これは私たちが行うことができ、クエリで、およびアップデートで。$\mathcal O(n^2\log(n))$$\mathcal O(n\log(n))$$\mathcal O(\log(n))$

私の質問は：

更新をあまり犠牲にすることなく、クエリを大幅に改善できますか？

特に、更新操作とクエリ操作の両方を準線形にしたり、特に両方をしたりすることに興味があります。$\mathcal O(n^\epsilon)$

編集：詳細については、この制限なしでも問題は興味深いと思いますが、大まかにクエリを実行し、更新することを期待しています。理想的な目標は、実行時間全体を約です。したがって、クエリがをするのに、更新がをする状況も興味深いでしょう。$\mathcal O(n^3)$$\mathcal O(n^2)$$\mathcal O(n^{3+\epsilon})$$\mathcal O(n \log(n))$$\mathcal O(\log(n))$

各クエリと各更新を次の場所で実行できる比較的簡単なソリューションがあります $O(\log^2 n)$時間。データ構造は$O(n^2)$ スペース。

私たちは $\lg n$ データ構造の「粒度」、2の累乗ごとに1つ $2^m$ そのような $1 \le 2^m \le n$。細分性のためのデータ構造$2^m$ 合計を保存する

それぞれに $k_0,l$。細分性のためのこのデータ構造$2^m$ 順番に表すことができます $n/2^m$ バランスの取れたツリー（可能な値ごとに1つ） $k_0$）プレフィックスの合計を保存します。

次に、プレフィックスの合計を調べます $k,l$、間隔を分割します $[0,k-1]$2のべき乗の長さの間隔の和集合に。せいぜい$\lg n$間隔が必要です。そのような長さの間隔ごとに$2^m$、粒度のデータ構造を検索します $2^m$。したがって、クエリは次のようにして答えることができます$O(\log n)$ バランスの取れたツリーへのルックアップ。 $O(\log n)$ 時間、合計時間 $O(\log^2 n)$ クエリごと。

更新はまたで行うことができます $O(\log^2 n)$時間。更新するには$M[i,j]$、粒度ごと $2^m$、粒度のデータ構造で適切なバランスツリーを更新します。 $2^m$。これは$O(\log n)$ oinを更新する $O(\log n)$バランスの取れた木; そのようなそれぞれの$O(\log n)$ 時間なので、合計時間は $O(\log^2 n)$ 時間。

最後に、粒度のデータ構造 $2^m$ 含む $n/2^m$ 樹木、それぞれ $O(n)$ スペースなので、合計スペース使用量は $O(n^2 \cdot (1 + 1/2 + 1/4 + \cdots)) = O(n^2)$。