無限の文字列に「通常」の類似物はありますか？

配列検討。それは例えば、方法で、 "通常の"と思われるのは2 = （1 、2 、3 、4 、... ）ではありません。$s_1 = (1, 0, 1, 0,\dots)$$s_2 = (1, 2, 3, 4,\dots)$

しかし、この直感をどのように形式化するかはわかりません。は通常の言語であり、s 1はある意味でこの言語の文字列の制限であるという点で私に​​飛びつきます。$L =\{(0 1)^n\}$$s_1$

これらの無限の文字列を検討するための用語はありますか？私たちは、ポンピング補題に何かの類似を持っていますか、それによって我々はそのような「無限の定期的な」文字列の形式であることを述べることができるとのx、yの、Zの有限？$x y^ {\infty}z$$x$$y$$z$

おそらく、最初の文字列を表す最も具体的な用語は周期的です。文字列x 1 x 2 …（有限または無限）は、すべてのiについて、x i = x i + tとなるような  tがある場合、周期的です  。この例の場合、t = 2を取ることができます。やや弱い概念は、x i = x i +となるnと  tがある場合、文字列は最終的に周期的であるということです。$010101\dots$$x_1x_2\dots$$t$$i$$x_i=x_{i+t}$$t=2$$n$$t$すべてのための私≥N。$x_i=x_{i+t}$$i\geq n$

ただし、より一般的には、通常の言語に直接類似したものがあります。これは、通常の言語$\omega$です。これらは、有限オートマトンの自然な一般化によって認識されます。状態セットはまだ有限ですが、受け入れ基準は無限の単語を処理するように変更する必要があります。特に、オートマトンは無限入力の処理を終了しないため、「オートマトンが受け入れ状態で終了する場合に受け入れる」とは言えません。

無限の単語に対するオートマトンの最も単純なクラスは、ビュッチオートマトンです。これらは、使い慣れた有限オートマトンとまったく同じように定義されており、オートマトンの実行中に少なくとも1つの受け入れ状態に無限にアクセスすると、入力を受け入れます。通常の有限オートマトンとの違いの1つは、非決定論的なビュッチオートマトンが決定論的なものより強力であり、正規言語が非決定論的なビュッチオートマトンによって受け入れられるものであることです。他の賢明な受け入れ基準は、同じクラスの言語を受け入れる他のオートマトンモデルにつながります。$\omega$

$xy^\omega z$$y$

$\omega$

$\Sigma^\omega$

$S\Sigma^\omega$$S$

証明はケーニッヒの補題です。

結論は、無限の文字列に対する言語は、ある意味で「単純」である（興味深い事実です）か、決定不可能であるということです。無限の文字列に対する言語の重要な概念は決定できません。

メンバーシップを決定可能ではなく半決定可能にすることを許可すれば、おそらくそれほど単純ではない言語を学ぶことができます。これは「無限大の数学」ではなく「コンピュータサイエンス」と見なすことができます（決定の問題ではなく検索の問題に関係しています。半決定性はある意味で検索を行うのに十分です）。