ノードxとyの間のグラフに単純なパスが1つだけあるかどうかを確認します `

単純な無向グラフを与えたとしましょう $G$有するノードと双方向のエッジを。与えられたとについて、グラフの間に単純なパスが1つしかないかどうかを確認します。$N$$M$$x$$y$

私が考えていたのは、グラフ内のすべてのサイクルを見つけて、から bfsを実行する必要があるということです。パスがあるサイクルの頂点を通過しない場合、パスは1つだけで、それ以外の場合はそこにあります。以上です。$x$$y$

これを確認する他の方法はありますか？

2最短経路を使用するというラファエルの提案は正しいですが、必要以上に複雑です。

あなたのアプローチは実行不可能であり、サイクル数は入力のサイズの要因です。

ここに時間内のソリューションのスケッチがあります $O(|V|+|E|)$。

パスを見つける $p_1, \dots p_n$ から $x$ に $y$ に $O(|V|+|E|)$。そのようなパスが存在しない場合は、答えてください$\textsf{NO}$。それ以外の場合は、パス内のすべてのノードをマークします。そのパス内のどのノードもその後のノードに到達しない場合に限り、そのパスは実際に一意です。パスの最初のノードから開始$p_1$、出て行くランダムなエッジを選びます $p_1$ それを接続するもの以外 $p_2$そこからDFSを起動します。マークされたノードに到達したら、答えます$\textsf{NO}$、マークされたノードに到達しない場合は、グラフからその分岐を切り取り、別のランダムな出力エッジを選択します。すべての出力エッジがなくなるまで同様の方法で続行し、到達するまで次のノードから再度開始します$p_n$。答えずに手順を終えた場合$\textsf{NO}$、答える $\textsf{YES}$。手順全体にDFSのコストがかかります。$O(|V|+|E|)$、したがって、全体の時間は $O(|V|+|E|)$。

実行したk最短経路とアルゴリズムを$k=2$ それが失敗するかどうかを観察します。

ソースからのパスが存在する場合 $x$一部のサイクルでは、単一の単純なパスの存在と常に矛盾するわけではありません。次の例を見てください。

ここから到達できるサイクルがあります $x$ そして $y$。この問題は$O(|V| + |E|)$。

BFSを実行して、最短距離を見つけることができます $x$ グラフ上のすべての頂点に、同じから $y$。1つのノードは最短パスに属しています$x$ に $y$ もしそうなら

$$distance(x,u) + distance(u,y) = distance(x,y)$$ ここで、単一のパスがあるかどうかを確認するには、すべての距離で最短パスの有効なノードが1回だけ発生することを確認します。これは、最短パスに属するノードが少なくとも2つある場合$x$ に $y$ 同じ距離で $x$次に、少なくとも2つの最短パスがあり、それ以外の場合は一意です。すべての後処理を行うことができます$O(|V|)$。

で始まる深さ優先検索を実行します $x$ツリー、バック、クロスエッジのいずれであるかに応じて、エッジに注釈を付けます（例：ここを参照）。

から複数の単純なパスがあります $x$ に $y$ からのパスに（少なくとも）1つのノードがある場合に限り $x$ に $y$ バックエッジまたはクロスエッジに付随するツリーエッジ（DFSによって検出されたパス）のみを使用します。