より単純なパスの数発見アルゴリズム

$G=(V,E)$$s$$t$$s$$t$$G$
$t$P ⇝ Z V P S R Y のV V S 、R 、Y 、VのP O $s \rightsquigarrow t$これが他のパスのサブパスである場合、DFSもこのサブパスを再度通過します。たとえば、からまでのパスの数を見つける必要がある隣接リストを考えます。 ここで、DFSはで始まり、 DFSが正常に実行されないため、ます。 pathは。これはに遭遇するため、頂点色を灰色に変更しないためです。$p$$v$

$$\begin{array}{|c|c c c|} \hline p &o &s &z \\ \hline o &r &s &v\\ \hline s &r \\ \hline r &y \\ \hline y &v \\ \hline v &w \\ \hline z & \\ \hline w &z \\ \hline \end{array}$$ $p$$p \rightsquigarrow z$$v$$psryv$$v$$s,r,y,v$$pov$の色ので、パスwhite.Thenまだの色ので白色であり、同様に、パスのカウンタ.Alsoとき増分取得れ維持される検出されます。p o s r y v s p o r y v $v$$posryv$$s$$poryv$$v$

私のアルゴリズムは正しいですか？そうでない場合、それを修正するためにどのような修正が必要か、または他のアプローチが大いに評価されます。

注：ここでは、「コーメンによるアルゴリズムの紹介」という本に記載されているDFSアルゴリズムを検討しました。このアルゴリズムでは、ノードをそのステータスに応じて色付けします。ノードが未訪問、未探索、探索の場合、色は白になり、それぞれグレーと黒。他のすべては標準です。

現在の実装では、DAGの正しいパス数が計算されます。ただし、パスをマークしないと、指数関数的な時間がかかります。たとえば、次の図では、DAGの各段階でパスの合計数が3の倍数増加します。この指数関数的な成長は、動的プログラミングで処理できます。

多くのコンピューティング - Tの DAGのパスが再発によって与えられる、 パス（U ）= { 1の場合  、U = T Σ （U 、$s$$t$

$$\text{Paths}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u = t \\ \sum_{(u,v) \in E} \text{Paths}(v) & \text{otherwise.}\\ \end{cases}$$

DFSの簡単な修正により、次のように計算されます。

def dfs(u, t):
    if u == t:
        return 1
    else:
        if not u.npaths:
            # assume sum returns 0 if u has no children
            u.npaths = sum(dfs(c, t) for c in u.children)
        return u.npaths

各エッジが1回だけ参照されること、つまりランタイムを確認することは難しくありません。$O(V + E)$

1つのノードからターゲットノードへのパスの数は、その子からターゲットへのパスの数の合計であることに注意する必要があります。グラフにサイクルがないため、このアルゴリズムは常に停止することがわかっています。

ノードを訪問するときに、1つのノードからターゲットまでのパスの数を保存すると、時間の複雑さは頂点の数で線形になり、メモリはノードの数で線形になります。

DAGの2つの頂点間のパスの数は、隣接行列表現を使用して見つけることができます。

AがGの隣接行列であると仮定します。恒等行列を追加した後にAのK乗を取得すると、長さ<= Kのパスの数が得られます。

DAGの単純なパスの最大長は| V | -1であるため、| V | -1乗を計算すると、すべての頂点のペア間のパスの数が得られます。

| V | -1のべき乗の計算は、各TCのlog（| V | -1）の複製を実行することで実行できます：| V | ^ 2。