2つの2x2行列の行列乗算が7回未満の乗算でできないことを証明するにはどうすればよいですか？

Strassenの行列乗算では、2つの2 x 2の行列乗算に7つの乗算が必要であるという奇妙な（少なくとも私には）事実を述べています。

質問： 2つの2 x 2行列を6回の乗算で乗算できないことを証明するにはどうすればよいですか？

行列は整数を超えていることに注意してください。

algorithms complexity-theory lower-bounds

— 複雑
ソース

より高速な他の行列乗算アルゴリズムがあります。スタンフォードCME 323クラスのこのWeb記事では、StrassenのアルゴリズムであるMatrix乗算：Strassenのアルゴリズムについて詳しく説明しています。ウィキペディアのトピックであるStrassenアルゴリズムには詳細が記載されており、追加情報へのリンクがあります。

— リチャードチェンバース

@RichardChambers Strassenのアルゴリズムには

乗算があります。この下限が真実であると私にはもっともらしい。

7

$7$

— ステラバイダー

言われたように、この質問は間違っています。

乗算で乗算できるマトリックスがたくさんあります。あなたは、最悪の場合には、それは7別名7を必要とするいくつかの行列が存在取り、証拠を求めることを意味

6

$6$

— ステラBiderman

@StellaBidermanはい、Strassenには7つの乗算があることがわかりました。私は他の、より高速で、より低い複雑さのアルゴリズムを見ませんでした。私が言うことができることから、彼らはストラッセンと同じサブマトリックスアプローチを使用していますが、私にはわかりません。Strassenの具体的な情報をいくつか追加していました。

— リチャードチェンバース

あなたの質問から何かが欠けているようです。少なくともいくつかの行列に0の乗算を乗算できるアルゴリズムを簡単に与えることができます。おそらくあなたが言及していない制約があります。

— ヨルグWミットタグ

これは、Winogradの古典的な結果です：2x2行列の乗算について。

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

結果は次の場所にあります。

S.Winograd、2×2行列の乗算、線形代数およびAppl。4（1971）、381–388、MR0297115（45：6173）。

— ステラ・バイダーマン
ソース