ダミーのための単項二次論理

私はプログラマーであり、オートマトンに精通していますが、ロジックには精通していません。

私は論文で、この2つは非常に密接に関連していると読みました。確定的有限オートマトン（DFA）、ツリーオートマトン、および可視プッシュダウンオートマトンは、すべてモナド2次論理（MSO）に関連しています。オートマトンと（論文の）人はMSOとの関係を私に説明しようとしたが、彼らは常に論理とMSOの理解の強い背景を前提としている。

ロジックに関する本やコースを見ると、ほとんどが一次ロジックのみを処理しますが、これは非常に単純で、いくつかの概念のみで構成されています：変数、または、ない、含意、すべて、存在など

誰かが説明したり、説明できるリソースを教えてくれたりできますか？

一次論理と対照的な二次論理とは何ですか？
モナドと非モナドのロジックとは何ですか？
なぜ二次論理が単項であることが決定可能になることが重要なのか、またはなぜこれが間違った質問なのか？
なぜ単項二次論理が決定可能か？
少なくともDFAとの関係は？

それがリソースである場合、私がプログラマーであり、論理学者ではないことを前提とすれば良いでしょう。これは、それまでは数学が私にとって魔法のように感じるので、コードとしてどのように実装するかを理解したいということです;）

助けてくれてありがとう。とても感謝しております。

— ウォルター・シュルツェ
ソース

「二次論理が単項であることが決定可能になるのはなぜ重要なのか、またはなぜこれが間違った質問なのか？」たとえば、ような二項述語の数量化を許可すると、すぐに（関数がなくても）単一の二項述語で一次論理の能力をすぐにつかむことができます。 [カルマル、Suranyi 1950]）アリティ> 0、及び平等なしに

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— はVor

一次論理と対照的な二次論理とは何ですか？

モナドと非モナドのロジックとは何ですか？

モナドの2次論理は、1次論理に加えて集合の数量化です。そのため、何らかのプロパティを持つドメイン要素が存在すると言うことができる（）だけでなく、何らかのプロパティを持つドメイン要素のセットが存在すると言うこともできます。したがって、たとえば、次のように言って、グラフの3色性を定義できます。 $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall バツ （ バツ \in R \lor バツ \in G \lor バツ \in B ） \\ \land \neg \exists バツ （ （ バツ \in R \land バツ \in G ） \lor （ バツ \in G \land バツ \in B ） \lor （ バツ \in B \land バツ \in R ） ） \\ \land \forall バツ \forall y （ E （ バツ 、 y ） \to \neg （ （ バツ \in R \land y \in R ） \lor （ バツ \in G \land y \in G ） \\ \lor （ バツ \in B \land y \in B ） ） ）] 。 \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

つまり、赤、緑、青の色があります。

すべての頂点には色があります
頂点には2つの色がありません
また、2つの頂点の間にエッジがある場合、それらの2つの頂点は同じ色ではありません。

一般的な2次論理では、セットの定量化だけでなく、ドメインの任意の関係も定量化できます。リレーションは、いくつかのについて、ドメイン上のタプルのセットであることを思い出してください。セットは単なる単項リレーションですおよびタプルは、ドメインの要素にすぎません。 $k$ $k$ $k=1$ $1$

なぜ二次論理が単項であることが決定可能になることが重要なのか、またはなぜこれが間違った質問なのか？

なぜ単項二次論理が決定可能か？

正直なところ、決定可能性の問題を覚えていません。重要な点は、完全な2次論理により、ドメインの線形順序を存在に定量化できることです。

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

つまり、完全で反対称的で推移的なバイナリ関係が存在します。つまり、ドメイン上の線形順序です。それは暗黙のうちにあなたの上の線形順序与え任意のため、あなたは上の関係を使用することができます十分な大きさのためチューリングマシンのテープをシミュレートします。しかし、モナドSOでは、これらのことはできません。 $D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

（ドメインが無限の場合、線形順序が離散的で最小の要素を持つことを追加で指定する必要があると思います。自然数に同型の初期セグメントがあることがわかっているので、足りる。）

有限入力では、SOの実存的フラグメント-の形式の式で、は関係記号で、は1次です-NPを正確に定義します。完全な2次論理は、多項式階層を正確に定義します。これは、チューリングマシンをエンコードする機能と、固定されたリレーションのコレクションを定量化することで、使用する多項式の量が得られるためです。 $\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

少なくともDFAとの関係は？

関係構造によって、いくつかの有限アルファベット上の文字列を表すことができます。語彙は、2項関係記号有する線形順序として解釈され、unany関連シンボル各文字の。ドメインの各要素は文字列の文字であり、線形の順序は文字の表示順序を示し、関係は各位置に表示される文字を示します。 $\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

ここで、状態を持つDFAがあり、今のところ有限の文字列を処理していると仮定します。上記の3色性の式に広く似た式を書くことができます。これは、DFAが入力によってコード化された文字列を受け入れることを示しています。これは、（ドメイン要素、すなわち、文字列中の位置の）セットがあることを述べているように、オートマトンが状態にある時に、文字列中の位置のセットになります。だからそれを断言する： $k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

各位置は正確にです。 $j$ $Q_1, \dots, Q_k$
最初の位置は（これが開始状態であると仮定します）。 $Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
最終位置は受け入れ状態です。

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

現時点では、逆の証拠を思い出せません（MSOで定義可能なものはすべて、適切なオートマトンで認識できるということです）。時間があれば、それを調べてスケッチを投稿します。

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— デビッド・リチャービー
ソース

逆の提案を追加しました。@DavidRicherbyによる承認待ち

— ヘンドリック

素晴らしい反応をありがとう。私はまだこのすべてを処理し、それを介して作業し、用語を調べ、これをどう実装するかを考えています。オートマトンとロジックの関係が非常に重要である理由が多かったのではないでしょうか？

— ウォルターシュルツェ