スパニングツリー問題のNP完全性証明

講師からの質問にヒントを探しています。

したがって、この決定問題はことがわかりました。$\sf{NP\text{-}complete}$

グラフには、正確なセットを葉として含むスパニングツリーがあります。この決定問題へのハミルトニアン経路を減らすことで、ことを証明できることがわかりました。$G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

しかし、私のインストラクターもクラスで私たちに尋ねました：

それはまた、だろうではなく「の正確なセットの場合」、我々が行います$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

「セット全体とその他のリーフを含む」または「サブセット」$S$$S$

「Sのサブセット」はになると思いますが、それを証明することはできません。どの問題をこれに還元できるかわかりません。「のセットを含める...」については、多項式時間で解決できると思います。$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

要するに、あなたの推測は正しいです。この答えのために、問題の3つの問題を次のように呼び出しましょう。

• 等価バージョン：グラフおよびセット与えられた場合、の葉のセットが等しくなるようににスパニングツリーがあるかどうかを決定します。あなたが述べたように、これはハミルトニアン経路問題からの縮小によりNP完全です。$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• サブセットバージョン：上記のと与えられた場合、の葉のセットがサブセットになるように、にスパニングツリーがあるかどうかを判断します。$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• スーパーセットバージョン：上記のと与えられた場合、の葉のセットがスーパーセットになるように、にスパニングツリーがあるかどうかを判断します。$G$$S$$G$$T$$T$$S$

サブセットバージョンがNP完全であることを証明するために、それまでのハミトニアンパス問題を減らすことができます。等価バージョンのNP完全性の証明を変更してみてください。

スーパーセットバージョンが多項式時間で解けることを証明するには、そのようなツリーが存在するために必要かつ十分な条件を見つけようとします。$T$

両方のバージョン（およびスパニングツリーに関するその他の問題）は[SK05]で研究されています。しかし、紙の証拠を見る前に自分で問題を解決しようとする方が良いと思います。紙を見るのは大きなネタバレになる可能性があるからです。残念ながら、スーパーセットバージョンの多項式時間アルゴリズムを見つける前に、この論文を見ていたのです。

[SK05]モハンマド・ソヘル・ラーマンとモハマド・カイコバード。スパニングツリーに関するいくつかの興味深い問題の複雑さ。 情報処理レター、94（2）：93–97、2005年4月。[ doi ] [ author copy ]

これらのヒントは、S問題のスーパーセットの解決策を得るのに十分ではありませんでしたが、ヒントは有用で正しいものです。これが私の解決策になった一連の思考です。

Sのすべての頂点をG（VS）から削除し、DFSでスパニングツリーTを見つけるとどうなりますか？Gにまだ接続されていない頂点がある場合、v1と言います。削除されたSの少なくとも1つの頂点の役割について、それは何と言っていますか？現在スパニングツリーにある頂点からv1へのパスにあること。したがって、葉にすることはできません（葉には子がないため）。接続されていないノードがない場合、Sのすべての頂点は、スパニングツリーにつながるエッジがある限り、リーフになることができます。Sの他の頂点にのみ接続するSの頂点は、もちろんスパニングツリーに接続されず、条件に違反します。そのため、確認する必要があるケースは2つあります。

1. SをGから削除し、スパニングツリーを見つけた後、Sにないすべてのノードが接続されている場合
2. Sの各ノードをスパニングツリーに直接接続できる場合。