1つのストリングのサブシーケンスで他のストリングのサブシーケンスではない

しましょう $\Sigma$ アルファベットにしてみましょう $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n \in \Sigma^*$ そのアルファベットの文字列である。文字列を呼び出す $s \in \Sigma^*$ 良ければ $s$ のサブシーケンスです $x^+$ のサブシーケンスではない $x^-_1,\dots,x^-_n$ 。

与えられた $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n$ 、私は最短の良い文字列を探しています $s$ 。これに適したアルゴリズムはありますか？ワーストケースの実行時間がそれほど長くない場合でも、実用的なアルゴリズムに興味があります。私のドメインでは、文字列 $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n$ かなり長いかもしれませんが、良い紐が存在すると思います $s$ それが役立つ場合、それはかなり短いです。

ケース $n=1$ ある文字列の最下位サブシーケンスによって処理されます。これは別の文字列のサブシーケンスではありませんが、ケースに対処する必要があります $n>1$ 。

— DW
ソース

私の標準的な提案：サフィックスツリー？あなたが探している文字列は、

(x^{+},_)

$(x^+, \_)$ 葉として。ああ、ちょっと…サブシーケンス？くそー。うーん。

— ラファエル

この問題はなくても

x^{+}

$x^+$ デュアルから最長の共通サブシーケンス？もしそうなら、多分それらに沿って何かを行うことができます。（長さを増やすことで一般的な非サブシーケンスを列挙すると、問題が解決します。）

— ラファエル

AryabhataのDPはかなり簡単に拡張できます。

n > 1

$n > 1$ ケース：使用するだけ

n

$n$ テーブル、各1つ

x_{i}^{-}

$x_i^-$ 、次に最小のものを探します

L

$L$ その結果、各テーブルの $i$ 、そしていくつかのために

k

$k$ 、

i s_t h e r e [i, k, t, L] = f a l s e

$is\_there[i, k, t, L] = false$ 。長さがわかります（

L

$L$ ）と最後の文字（

x^{+} [k]

$x^+[k]$ ）、しかし、以前の文字を抽出する方法はまだわかりません...

— j_random_hacker 2017

@j_random_hacker、私はそれがうまくいくとは思いません。それは1つのサブシーケンスを選ぶかもしれません

x^{+}

$x^+$ 長さの

L

$L$ それはのサブシーケンスではありません

x_{1}^{-}

$x^-_1$ 、およびの別のサブシーケンス

x^{+}

$x^+$ 長さの

L

$L$ それはのサブシーケンスではありません

x_{2}^{-}

$x^-_2$ 。（最初の1つは、

x_{2}^{-}

$x^-_2$ 、および2番目のサブシーケンス

x_{1}^{-}

$x^-_1$ 、これは悪いことです。）の単一のサブシーケンスが必要です

x^{+}

$x^+$ 、それぞれ個別ではありません

x_{i}^{-}

$x^-_i$ 。それともあなたの考えについて何か賢いことを見逃しましたか？

— DW

絶対に最短のサブシーケンスが必要ない場合は、文字列の場合、

s

$s$ のサブシーケンスではありません

x_{i}^{-}

$x_i^-$ 、それはまた、文字列のインターリーブのサブシーケンスではありません

x_{i}^{-}

$x_i^-$ 。したがって、ランダムにインターリーブするさまざまな方法を試すことができます

n

$n$ 文字列

x_{i}^{-}

$x_i^-$ 単一の文字列に、そしてそのようなインターリーブごとに

y_{j}

$y_j$ 、サブシーケンスを探す

z_{j}

$z_j$ の

x^{+}

$x^+$ のサブシーケンスを回避する

y_{j}

$y_j$ AryabhataのDPを使用して、どちらかを選択します

z_{j}

$z_j$ 最短です。

— j_random_hacker 2017

間違い

最初に、コメントでいくつかの間違いをしました：インターリーブについて行った最初の主張とそれを「修正する」（現在は削除されている）コメントの両方が間違っていました。も間違っていました（以下に簡単な反例を示します）。最後に、設定する私の提案 $x^+ = z_j$ 繰り返し、またはビーム検索を使用しても、実際には役に立たない：これを実行し、AryabhataのDPを適用することによって得られる答えは、元の $x^+$ DPが選択できるソリューションセットのサイズを縮小するだけなので、ごめんなさい！うまくいけば、以下の改良版にはそれ以上の問題はありません...

アリヤバタの民主党の 2つの間違いにも気づきましたました。幸いなことに、どちらも簡単に修復できます（その投稿に対する私のコメントを参照してください）。

ランダムインターリーブを使用したヒューリスティックソリューション

絶対に最短のサブシーケンスが必要ない場合は、文字列の場合、 $s$ 一部のサブシーケンスです $x^-_i$ 、それはまた、すべての文字列の可能なすべてのインターリーブのサブシーケンスです $x^-_i$ 。もしこれを逆にすると $s$ すべての文字列の特定のインターリーブのサブシーケンスではありません $x^-_i$ 、それはそれは任意の個人のサブシーケンスではありません $x^-_i$ 。

したがって、ランダムにインターリーブするさまざまな方法を試すことができます $n$ 文字列 $x^−_i$ 単一の文字列に、そしてそのようなインターリーブごとに $y_j$ 、最短のサブシーケンスを探します $z_j$ の $x^+$ のサブシーケンスを回避する $y_j$ 使用した2列の場合のアリヤバータの素敵なDPアルゴリズムを、そしてどちらを選びます $z_j$ あなたが試みたすべてのインターリーブの中で最短です。

警告：すべてのインターリーブを試みても、最適性は保証されません

驚いたことに（少なくとも私にとって）、可能なすべてのインターリーブに対して上記の手順を繰り返しても、最適なソリューションを見つけることが保証されていません。 $x^+ = aaa$ 、 $n=2$ 、および $x^-_1 = x^-_2 = a$ 。その後 $aa$ 長さ2の最適なソリューションですが、すべてのインターリーブを試行することで見つかる最短のソリューション $x^-_1$ そして $x^-_2$ です $aaa$ 、長さ3。

— j_random_hacker
ソース