「サブセット製品」の問題はNP完全ですか？

サブセット合計問題は、古典的なNP完全問題です。

数字のリストとターゲットが与えられた場合、合計がになる数字サブセットはありますか？$L$$k$$L$$k$

学生から、「サブセット製品」問題と呼ばれるこの問題の変種がNP完全かどうかを尋ねられました。

数値のリストとターゲットが与えられた場合、積がからの数値のサブセットはありますか？k L $L$$k$$L$$k$

私はいくつかの検索を行ったが、おそらく私はそれらを逃したが、この問題について話しているリソースを見つけることができなかった。

サブセット製品の問題はNP完全ですか？

コメントでは、X3CからYaoに起因するSUBSET PRODUCTへの削減について言及しています。削減の目標を考えると、削減がどのようなものであったかを推測するのは難しくありませんでした。

定義：

3セットによる正確なカバー（X3C）

で有限集合が与えられた場合 3の倍数、および収集の3要素のサブセットの、ない、正確なカバー含んのための、とのすべての要素で正確に一度に発生する？| X | C X C C 「 X C 」 ⊆ C X C $X$$|X|$$C$$X$$C$$C'$$X$$C' \subseteq C$$X$$C'$

サブセット製品

数値のリストとターゲットが与えられた場合、積がからの数値のサブセットはありますか？k L $L$$k$$L$$k$

X3CインスタンスをSUBSET PRODUCTインスタンスに減らすには：

1. のメンバーと最初の間に全単射マッピングを確立します 素数。およびサブセットのメンバーをマップされた素数で置き換えます。| X | X $X$$|X|$$X$$C$

2. 各サブセットに対して、そのメンバーを一緒に乗算します。結果の製品リストは、SUBSET PRODUCTインスタンスではです。ステップ1のマッピングには素数が使用されるため、一意の因数分解定理によりサブセットが同等である場合、積は同等であることが保証されます。$C$$L$

3. のメンバーを一緒に乗算します。結果の製品は、SUBSET PRODUCTインスタンスの値です。$X$$k$

の素因数は、まさにのメンバーです。の数値の素因数は、サブセットのメンバーに正確に対応します。したがって、のソリューションメンバをのサブセットにマッピングすることにより、新しいSUBSET PRODUCTインスタンスのソリューションをX3Cソリューションに変換できます。X L C L $k$$X$$L$$C$$L$$C$

3つの変換ステップのそれぞれには、入力のサイズに多項式である演算が含まれますまたはメンバーのサイズ。最初の素数はエラトステネスのふるいを使用して時間O（）に生成でき、素数定理により空間に収まることが保証されます。X | X | | X | O （| X | 2 ln | X |$|X|$$X$$|X|$$|X|$$O(|X|^2 \ln |X|)$

[ 1 ]によると：はい

また、同じリファレンスを引用します。コメント：これと問題42には微妙な技術的な違いがあります。前者の場合、数値を単項で表現できるようにすることで得られる擬似効率的なアルゴリズムがあります。ただし、すべてのNP完全問題が高速アルゴリズムで解決できない限り、サブセット積問題は、この不合理な入力表現を使用する「効率的な」方法でも解決できません。

削減については[2]をご覧ください。[2]：フェロー、マイケル、ニールコブリッツ。「固定パラメータの複雑さと暗号化。」応用代数、代数アルゴリズムとエラー修正コード（1993）：121-131。