3パーティション問題から平衡パーティション問題への削減

3-Partition問題は、整数のセットを3 個の整数のn個のセットに分割して、各セットの合計が特定の整数Bになるかどうかを尋ねます。Balanced Partition問題は、2 n個の整数を2つの等しいカーディナリティーセットに分割して、両方のセットの合計が同じになるかどうかを尋ねます。両方の問題はNP完全であることが知られています。ただし、3-Partitionは強くNP完全です。文献では、3パーティションからバランスパーティションへの減少は見ていません。$3n$$n$$B$$2n$

3パーティションからバランスパーティション問題への（単純な）削減を探しています。

文献には何千ものNP完全問題があり、ほとんどのペアには明示的な縮約がありません。多項式時間の多対一簡約が構成されるため、公開された簡約のグラフが強く結び付けられたときに研究者が停止するだけで十分であり、NP完全性の研究ははるかにスケーラブルなアクティビティになります。

ポイントは本当にわかりませんが、3パーティションからBALANCEDパーティションへの合理的な単純な削減を行い、正当性の証明がどのように進むかについていくつかのヒントを示して、ユーモアをお伝えします。

減少への入力があるとする、3パーティションのインスタンス。ことを確認しΣはI ∈ [ 3 N ] X I = N B。ましょβは後で選択する多数あること。すべてのためのI ∈ [ 3 N ]とすべてのJ ∈ [ N ]、出力二つの数は、 xはI β J + β N $x_1, \ldots, x_{3n}, B \in \mathbb Z$$\sum_{i\in[3n]} x_i = nB$$\beta$$i \in [3n]$$j \in [n]$ 直感的に、最初の数字は x iが3パーティション jに割り当てられることを意味し、2番目の数字はその反対を意味します。X I β jは用語は、3パーティションの合計を追跡するために使用される jで。β N + J用語は、3パーティションのカーディナリティ追跡するために使用される jは。β 2 N + I用語は、各ことを保証するために使用され、XはIを正確に一度だけ割り当てられます。β

$$x_i \beta^j + \beta^{n+j} + \beta^{2n+i} + \beta^{(i+4)n+j}\\ \beta^{(i+4)n+j}.$$ $x_i$$j$$x_i \beta^j$$j$$\beta^{n+j}$$j$$\beta^{2n+i}$$x_i$という用語は、これらの数値を異なるバランスのとれたパーティションに強制するために使用されます。$\beta^{(i+4)n+j}$

出力2つの数値 最初の数字は、バランスのとれたパーティションを「true」として、もう1つの数字は「false」として識別します。1項は異なるバランスの取れたパーティションにこれらの番号を強制するために使用されます。他の用語は、3パーティションの合計とその補数の合計、3パーティションのサイズとその補数のサイズ、および x iが割り当てられる回数の差を構成します。

$$1 + \sum_{j\in[n]} \Bigl((n-2)B\beta^j + (3n-6)\beta^{n+j}\Bigr) + \sum_{i\in[3n]} (n-2)\beta^{2n+i}\\ 1.$$ $1$$x_i$

は、「オーバーフロー」が発生しないように十分に大きく選択する必要があります。$\beta$

アンドレアス・エミル・フェルドマンによるこの論文「グリッドとツリー上でも高速バランス分割は難しい」には、あなたが望むものが含まれています！幸運を！

3-PARTITIONからさまざまなグラフクラスに削減するための一般的なフレームワークを設定します。これは、 -BALANCED PARTITIONING問題の硬度を示すために、3-PARTITIONインスタンスから作成されたグラフが満たす必要のある構造的特性を識別することによって達成されます...$k$