証明または反駁：BPP（0.90,0.95）= BPP

：私は本当にあなたの証明のヘルプまたは以下の請求反論たい $BPP(0.90,0.95)=BPP$ 。計算の複雑さの理論では、有界誤差確率多項式時間を表すBPP は、多項式時間の確率的チューリングマシンで解ける決定問題のクラスであり、最大エラー確率を持ちます。 $\frac{1}{3}$ すべてのインスタンスで。。 $BPP=BPP(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

エラーの確率がより小さい場合ので、セットのいずれかが、他のサブセットであることは、即時ではないそれよりも小さくする必要はない、それがより大きい場合はより大きい必要はありません。 $0.9$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $0.905$

私は主張を証明するためにチェルノフの不等式を使おうとしていますが、正確な方法はわかりません。私は本当にあなたの助けをお願いします。私が使用できるこれらの関係に関する一般的な主張はありますか？

complexity-theory time-complexity probabilistic-algorithms

— 分子
ソース

BPP（x、y）という表記の意味がわかりません。言語にない文字列はx以下の確率で受け入れられ、言語に含まれる文字列はy以上の確率で受け入れられるのでしょうか。

— Matt Lewis

まさに、あなたは正しいです。

— 分子2013年

ヒント：あなたが実行した場合

あなたの言語ではない文字列の試験では、確率は何だそれより例えばより

n

$n$

それらの

は文字列を受け入れますか？あなたは実行した場合

言語で記述されている文字列の試験では、確率はそれより少ないものだ

.9 n + c \sqrt{n}

$.9\ n+c\sqrt{n}$

n

$n$

それらの

は文字列を拒否しますか？

回の試行を実行し、「。

以上の

回の実行で受け入れられる任意の文字列を受け入れる」と言う場合、

として、受け入れ/拒否の確率はどうなりますか？

.95 n - c \sqrt{n}

$.95\ n-c\sqrt{n}$

n

$n$

.925 n

$.925\ n$

n \to \infty

$n\to\infty$

— Steven Stadnicki 2013年

スティーブンStadnickiのヒントを表示するためである

。他の方向について、示している

毎ため

。同様に、

B P P (0.9, 0.95) \subseteq B P P (1 / 3, 2 / 3)

$BPP(0.9,0.95) \subseteq BPP(1/3,2/3)$

B P P (1 / 3, 2 / 3) \subseteq B P P (ϵ, 1 - ϵ)

$BPP(1/3,2/3) \subseteq BPP(\epsilon,1-\epsilon)$

ϵ

$\epsilon$

は、定数

です。

B P P = B P P (α, β)

$BPP = BPP(\alpha,\beta)$

0 < α < β < 1

$0<\alpha<\beta<1$

— Yuval Filmus 2013年

私のコメントを回答に拡張する：チャーノフの範囲の乗法形式は、独立したランダムバイナリ変数の合計に対する期待値がである場合、「から離れすぎている」可能性が期待のように行くこと： $X=\sum_{i=0}^n X_i$ $\mu$ 。 $Pr(X\gt (1+\delta)\mu) \lt \left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right)^\mu$

さて、文字列与えられ、手続き想像テストには、我々は実行、私たちの試練（いくつかのアルゴリズムを、後に選択される）と、少なくともIFFを受け入れる受け入れ、それらの試験の。Chernoffの範囲を使用して、次のように観点から失敗の確率を見つけることができます。 $\sigma$ $n$ $BPP(0.90, 0.95)$ $n$ $0.925n$ $\sigma$ $n$

ましょ表すの結果番目の裁判ので、成功試行回数。誤確率はと保守的に想定できます。私たちが作る場合は、このことを意味の文字列に独立試行を、成功数の期待値が。（未満の誤検出確率は $X_i$ $i$ $X=\sum X_i$ $.9$ $n$ $\sigma\notin L$ $\mu = E(X) = 0.9n$ $.9$ 予想値がさらに低くなり、推定値の境界がさらに厳しくなります。）ここで、超える誤（つまり、）が発生する確率を見てみましょう。私たちは取る $0.925n$ $X\gt 0.925n$ ; その後、 $\delta = \left(\frac{0.925}{0.9}\right)-1 =\frac{1}{36}$ なので、 $\left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right) \approx.99961\lt \frac{2999}{3000}$ 。 $Pr(X\gt 0.925n)\lt\left(\frac{2999}{3000}\right)^{0.9n}$

ここから、十分に大きくすることで、この確率を減らすことができることは明らかです。 $n$ 。したがって、この十分に大きいため、我々は、文字列受け入れる場合、上成功した試行回数場合にのみ、より大きくなる、その文字列を受け入れる私達の確率下回った $\lt\frac{1}{3}$ $n$ $\sigma$ $\sigma$ $.925n$ $\sigma\notin L$ 。このは定数であり、問題のサイズに依存しないことに注意してください。我々はしているが、私たちの多項式実行しているので、倍のアルゴリズム一定の数を、私たちの新しいプロシージャの合計実行時間はまだ多項式です。他の方向に進む同様の分析は、「偽陰性」の確率（私たちの言語にある文字列の）が一部のによって制限されることを示します。偽陰性の確率をで制限するのに十分な大きさ $\frac{1}{3}$ $n$ $BPP(0.9, 0.95)$ $X\lt.925n$ $c^n$ $c$ $n$ （または、言い換えると、少なくとも $\frac{1}{3}$ 列に受け入れの確率）。このショーその $\frac{2}{3}$ $\sigma\in L$ 、とのYuvalさんのコメントが示す同様の手順を経て逆等価性を証明する方法について説明します。 $BPP(.9, .95)\subseteq BPP(\frac13, \frac23) \equiv BPP$

正規的に、これは確率増幅と呼ばれ、確率的クラスを処理するための非常に便利な方法です。特定の定数はそれほど重要ではないことは明らかですが、チャーノフの範囲が試行回数の指数関数によって「誤った結果」の確率を制限できるという事実により、適度な試行回数だけで任意に小さくすることができます。

— スティーブン・スタドニッキ
ソース

ここでは実際にはチェルノフの束縛は必要ありません。チェビシェフで十分です。

— Yuval Filmus

@YuvalFilmusああ、確かに; OPがチェルノフについて具体的に言及したので、私はそのルートに行くと思いました、そして定数の厄介な形式を除いて、分散についての結果を（真っ直ぐに）掘り下げる必要がないので、それは実際に少し簡単です。二項分布の。

— Steven Stadnicki 2013年