TAUTがcoNP完全であることの証明（またはその補数がNP完全である場合、問題はcoNP完全であること）

TAUTがcoNP完全であることを証明する必要があります。を減らすことにより、であることを示しました。ただし、coNPのすべての問題を多項式時間でに削減できることを証明する方法を理解できません。そのためには、次の2つのいずれかが必要です。$\text{TAUT} \in \text{coNP}$$\text{SAT}$$\overline{\text{TAUT}}$$\text{TAUT}$

1. 削減のための既知のcoNP完全問題または
2. 問題の補集合がNP完全である場合、問題はcoNP完全であることの証明。

どちらも講義では与えられなかったので、自分で証明しないと何も使えません。当たり前だったはずのことを逃しましたか？どこから始めればいいですか？

私は、 DNF数式の問題と呼び、トートロジーであるかどうかを判断します（DNFに制限したくない場合でも、問題がより一般的になるため、これは機能します）。$TAUT$

質問の答えは、の定義から簡単にます。言語があることを覚えておいてください。たとえば、はトートロジーではないDNFのセットです。DNFがトートロジーではないことを証明するには、数式を満たさない割り当てを見つけるだけです。これは、NTMを使用して多項式時間で実行できます（割り当てを「ブルートフォース」にする）。したがって、ます。言い換えると、はです。$coNP$$L \subseteq \{0,1\}^*$$coNP$$\bar{L} = \{x \in \{0,1\}^* \mid x \notin L\} \in NP$$\overline{TAUT}$$NP$$\overline{TAUT} \in NP$$TAUT \in coNP$

ここで、完全言語取ります。定義により、。が完全であることを示します。つまり、すべての言語で、です。レッツ。その場合、はます。 -completenessの、関数が存在多項式時間ように計算、 IFF。これは、場合にと言うのと同じです$NP$$L$$\bar{L} \in coNP$$\bar{L}$$coNP$$A \in coNP$$A \leq \bar{L}$$A \in coNP$$\bar{A}$$NP$$NP$$L$$f$$x \in \bar{A}$$f(x) \in L$$x \notin \bar{A}$$f(x) \notin L$。これは、 iffと同等です。したがって、もからへの縮小です。つまり、です。つまり、は完全です。$x \in A$$f(x) \in \bar{L}$$f$$A$$\bar{L}$$A \leq \bar{L}$$\bar{L}$$coNP$

ここで、が完全であることを示したい場合は、が完全であることを示すだけです。ことを確認するのは難しくありません。実際、CNFは、DNFであるがトートロジーではない場合に満足できます。$TAUT$$coNP$$\overline{TAUT}$$NP$$SAT \leq \overline{TAUT}$$F$$\neg F$