2つの要素は常に部分的に順序付けられたセット内の関係にありますか？

部分的に順序付けられたセットでは、セットから任意の2つの要素を常に順序付けできますか？または、セット内の2つの要素が互いに順序関係を持たない可能性はありますか？

たとえば、3つの要素ととがある場合、またはどちらを保持する必要がありますか？$\{a, b, c\}$$a \leq b$$a \leq c$$b \leq c$$c \leq b$

これは、プログラミング言語のセマンティクス（whileループの表記）の固定小数点理論を理解するために必要です。

で、部分的に順序集合、比較できないメンバーがあるかもしれません。すべての要素が比較可能な部分的な順序は、全順序と呼ばれます。

私達は言う $a$ そして $b$ 以下の少なくとも1つが成立する場合に比較可能です。

• $a\leq b$、
• $b \leq a$。

で、部分的に順序集合（略してposet）、あなたが持つことができます$a \le b$ そして $a \le c$ なし $b$ そして $c$ 比較可能（つまりどちらでもない） $b \le c$ また $c \le b$保持）。これが、全体の順序ではなく、部分的な順序にする理由です。順序付けされたセットの主な例は実数（または自然な整数などのサブセット）であるため、数学者はしばしば「順序」と言うときの全体の順序を意味します。コンピュータサイエンティストは初等レベルでより部分的な順序を使用するため、CSでは、合計が指示されない限り部分的な順序であると見なします。

posetの典型的な例は、セットの包含です。 $\{x\} \subset \{x,y\}$ そして $\{x\} \subset \{x,z\}$、しかしどちらも $\{x,y\}$ そして $\{x,z\}$ 他のサブセットです。

Posetは、多くの場合、プログラムに関する知識の量を表すために、表示セマンティクスで発生します。$a \le b$ という意味です $b$ プログラムの動作のより良い近似です $a$。たとえば、$a$ 「プログラムは、すべての入力に対して終了する整数からの関数です」、 $b$ 「プログラムは後続関数を計算する」であり、 $c$ 「プログラムは二重関数を計算する」です $a \le b$ そして $a \le c$ だが $b$ そして $c$ 比較することはできません。