心は有限のオートマトンであり、それでもチューリングマシンを発明することができますか？

チューリング機械は人間の心によって発明されました。おそらく、チューリングマシンほど強力なものはチューリングマシンを発明できません。

ただし、チューリングマシンには無限のテープがありますが、マインドは有限の宇宙にあるため、有限のテープを持つTMにしかできません。有限のテープを持つTMは有限のオートマトンによってシミュレートでき、チューリングマシンよりも強力ではありません。これは、チューリングマシンがチューリングマシンよりも強力ではないオートマトンによって発明されたことを意味しているようで、当初の前提と矛盾しています。

これは問題ですか？または、最初の前提は間違っていますか？有限オートマトンが、より強力なマシン、つまりブートストラップのようなマシンを「発明」することは可能ですか？

「発明」を正式に定義することは困難ですが、有限オートマトンが有限TMを効果的に表すことさえできないようです。たとえば、ウィキペディアのページでは、DFAは数百の状態を持つTMを表すために4千の状態を必要とすると述べています。したがって、停止するTMの有用なサブセットを表すだけでも、DFAの表現はおそらく私たちの計算能力を超えると思います。DFAとTMの間には大きな隔たりがあるように見えます。そのため、一方からもう一方に移動するためのもっともらしいブートストラップを想像することは困難です。

有限オートマトンがTMの停止問題をどのように証明できるかという関連する問題もあります。

あなたは確かに前提の問題を抱えています。私たちはFSM でも TMでもありません。これらすべての計算理論デバイスは、一連の公理と制限された入力で構成される単純な数学的抽象化であることを忘れないでください。計算理論システム（ゴーデル、チューリング、チャーチ）は、特定の種類の関数が計算可能かどうかを証明できるように設計されています。

対照的に、我々は：

1. 文字通り無限の情報でフィルタリングする
2. 意識を持っている（それが何であれ）
3. 現実の世界に存在する

私たちがTMではないことの簡単な証明の1つは、あなたが今説明したものです。チューリングマシンを発明することはできますが、チューリングマシンを発明することはできません。実行前に無限のTM構成のエンドポイントを確認することは絶対に取るに足らないことです（ただし、エンドポイントを確認できない無限のTMも存在します）が、人間の前に人間のエンドポイントを簡単に決定できるTMはありません生活。

ここで非常に役立つことがある地図作成からのことわざがあります：マップは領域ではありません

これらの公理システムは非常に巧妙に設計されており、（重要ではありますが）小さな一連のアイデアを実現しますが、人間をチューリングマシンの7タプルと短い一連の公理に変換しようとすることは、人間を他の抽象に削減するのと同じくらい意味があります公理システム。これらのシステムは現実世界の側面を見るのに役立ちますが、完全な写真ではなく、有限状態機械やチューリングマシンではなく、数論や集合論と同じです。

チューリングマシンの詳細

• チューリングマシンには無限のテープはありません。テープの境界はありません。そこに格納できるシンボルの数に制限はありませんが、常に、テープには有限数のシンボルしかありません。したがって、マシンのすべての実行を想像することはできませんが、マシンの少なくともいくつかの状態を常に想像することができます。
• ある意味で、チューリングマシンは、すべての言語の「有限」部分を切り分けます。つまり、チューリングマシンによって有限に表現できる部分を切り分けます。数え切れないほど多くの言語がありますが、数え切れないほど多くのチューリングマシンがあります。そのため、それは本当に無限であり、無限大であるので、私たちが理解できないことがたくさんあります。
• 考えられるほとんどの問題は、実際にはチューリングマシンの能力を必要としません。多くは、プリミティブ再帰またはその他の十分に根拠のある再帰スキームを使用して記述できます。そのため、ほとんどのアルゴリズムでは、チューリングマシンの無限性を実際に必要としません。
• 停止するチューリングマシンの場合、入力サイズに関連して使用されるメモリの最大量を表す関数が常に存在します。したがって、無限を理解する必要はありません。関係を理解する必要があるだけです。

弱いシステムがより強いシステムを発明できるか？

ここでの答えは、あなたの定義次第ではあります。たとえば、有効なすべてのチューリングマシンの言語は、コンテキストフリーの文法を使用して記述できます。有効なTuring Machineがどのように見えるかを記述する通常の言語を記述することもでき、それらは有限です。（ネタバレ注意、これはあまり意味がありません。各整数をチューリングマシンにマッピングできるため、通常の言語がすべての有効なチューリングマシンのセットになる可能性があります）。$\{0,1\}^*$

そして、物事を認識すること、または物事の説明を発明すること、そしてすべてのものを発明することを区別することが重要です。チューリングマシンとは何であるかは認識できますが、すべてを確認することはできません。また、停止の問題などのため、すべてを理解することはできません。

その他の無限のもの

この質問は最終的に、有限のマインドがどのように自然数、またはの関数を理解できるかを尋ねることと同じです。どちらも無限ですが、有限の方法で説明できます。$y=x$$\mathbb{R}^2$

ただし、関数やセット、実数など、無限の可能性があり、口頭または書面での表現では決して説明できないものがあります（現実には数え切れないほど多くの実数がありますが、人間の言語には数え切れないほど多くの有限文があるためです）。ゲーデルの証明よりも真の定理です。

したがって、おそらくそれを真に理解せずに、少なくともそのすべての側面を理解せずに、無限を記述し、その特性について話すことができます。