Turing Machine（TM）は、停止の問題がすべてのTMに適用されるかどうかを決定できますか？

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このサイトでは、他のすべてのTMについても、特定のサブセットについても、TMが停止の問題を決定できるかどうかについて、さまざまなバリエーションがあります。この質問は多少異なります。

停止の問題がすべてのTMに当てはまるという事実は、TMによって決定できるかどうかを尋ねます。私は答えはノーだと思います、そして私の推論をチェックしたいと思います。

TMが停止するかどうかを決定するTMで構成される言語としてメタ停止言語を定義します。 $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

による停止問題に。 $L_{MH}= \emptyset$

より正確に述べるしたがって、タイトルの質問：それはかどうかを決定可能れる？ $L_{MH} = \emptyset$

ライスの定理によれば、re言語が空であるかどうかは決定できません。
どちらの場合も、がreであるかどうかは、かどうかは決定できません。 $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
したがって、かどうかは決定できません。 $L_{MH} = \emptyset$

これは、停止の問題がすべてのTMに適用されるかどうかをTMが判断できないことを証明します。

私の理解は正しいですか？

更新：私は、直感的に正しいと思われる「証明」のいくつかの定義について、TMが「停止の問題を証明」できないことを示しようとしています。以下は、これが正しいと思う理由の説明です。

$M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— yters
ソース

3

あなたの修正は役に立ちません。パラメータがない問題は、常にYESを出力するTuringマシンか、常にNOを出力するTuringマシンのいずれかによって常に特定できます。申し訳ありませんが、あなたの主張はうまくいきません。ゲーデルの定理の真の類似物は、ライスの定理です。

— Yuval Filmus 16

5

「停止の問題がすべてのTMに当てはまるという事実は、TMによって決定できるかどうかを尋ねます。」-停止の問題が一連のTMに「適用」されないため、このクエリは意味がありません。少なくとも、それが何を意味するのかはわかりません。

— ラファエル

4

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

7

誤解は、「Xを決定する」という表現の意味にあると思います。正式には、Xは文字列の述語である必要があり、Xを決定するマシンは、入力sでX（s）の真理値を出力するマシンです。あなたの場合の述語は何ですか？その入力は何ですか、いつそれが本当ですか？

— Yuval Filmus 16

5

X

$X$

X

$X$

5

$\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

$P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
$M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
$\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— ヴォル
ソース

19

停止問題を決定するチューリング機械の言語は決定可能です。それを決定するチューリングマシンは、常にNOを出力します。

$\emptyset$

$T$ $L(T) = \emptyset$

— ユヴァルフィルムス
ソース

7

空の言語は決定可能です。それに対処します。

— Yuval Filmus 16

15

停止問題を決定するチューリング機械の言語は空です。空の言語は決定可能です。したがって、停止問題を決定するチューリング機械の言語は決定可能です。

— Yuval Filmus 16

1

問題は、TMがチューリングマシンの言語を決定して、停止問題が空であると決定できるかどうかです。上で示したように、TMはこれを行うことができません。

— 2016

1

@yters TMがその言語が空であることを証明できるかどうか尋ねていますか？既存の既知の証明を出力するだけで簡単に行うことができます。

— user253751 2016

3

TMが何かを証明することはどういう意味ですか？

— Yuval Filmus 16

2

あなたはライスの定理を誤解しています。

この文脈でのライスの定理は、「Tが空の言語を決定するのか」という問題を決定することはできないと述べています。

あなたの問題は、任意のチューリングマシンが空の言語を決定するかどうかを決定することではありません。問題は、空の言語を決定するMが存在するかどうかです。

そして、そのようなMは存在します。あなたはそれよりもさらに良いことができます：そのようなMを実際に構築し、空の言語を決定する証拠を提供することができます。

決定できない一般的な問題は、特定のインスタンスを解決できないことを意味しません。実際、すべての証明を列挙する通常のデバイスによって、次のようなチューリングマシンが存在します。

空の言語を決定する証拠が存在するすべてのチューリングマシンを受け入れます
空の言語を決定しないという証明が存在するすべてのチューリングマシンを拒否します
どちらの方法でも証明できない場合は停止しません。

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ウィキペディアの決定可能性に関する定義：

再帰言語とは、有限の入力文字列が提示されたときに、文字列がその言語である場合は停止して受け入れる、そうでない場合は停止して拒否するTuringマシンが存在する形式言語です。チューリングマシンは常に停止します。これはディサイダーと呼ばれ、再帰的な言語を決定すると言われています。

つまり、すべての入力文字列を決定するチューリングマシンがあれば、それは決定的です。これは、チューリングマシンごとに決定不可能な差異であり、すべての入力文字列を決定するわけではありません。つまり、何もまたは一部の文字列を決定することはできませんが、少なくとも1つ（ただし、実際には少なくとも無限大）は決定できません。

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— user23013
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