| w |でwsする方法 = | s | そしてw s sはコンテキストフリーであるが、w＃sはそうではない？

分離記号が2つの言語を区別しているのはなぜですか（その場合）。 $\#$

言いましょう：

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

ここに証明とをとして表す文法があります $L$ $CFL$

そして、証明を追加するイムの下： $L_{\#} \notin CFL$

記号は、本当に違いを生みますか？もしそうなら、それはなぜですか？そうでない場合、どちらの証明が間違っているのですか？ $\#$

その証明： $L_{\#} \notin CFL$

その矛盾の方法によって想定。みましょうする励起一定である文脈自由言語のためのポンピング補題により保証。単語を考慮しますここで、なのでです。以降、ポンピング補題によると、ような表現が存在します、、および各。 $L ∈ CFL$ $p > 0$ $L$ $s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$ $m=p!+p$ $s ∈ L$ $|s| > p$ $s = uvxyz$ $|vy| > 0$ $|vxy| ≤ p$ $uv^{j}xy^{j} z ∈ L$ $j ≥ 0$

ケースによって矛盾が生じます：

またはにが含まれている場合：場合、はが含まれていないため、が矛盾しています。 $v$ $y$ $\#$ $i = 0$ $uxz$ $\#$ $uxz \notin L$
両方の場合はおよびに残っている：ためにその後、我々がいることを得る形式です、どこ、そう。 $v$ $y$ $\#$ $i = 0$ $uxz$ $w\#x$ $|w| < |x|$ $uxz \notin L$
と両方がに対して正しい場合：前のケースと同様です。 $v$ $y$ $\#$
がに委ねられている場合、はそれに対して右であり、：のためにその後、我々はそれを得る形式です、どこ、そう。 $v$ $\#$ $y$ $|v| < |y|$ $i = 0$ $uxz$ $w\#x$ $|w| > |x|$ $uxz \notin L$
がに委ねられている場合、はそれに対して右であり、：前のケースと同様。 $v$ $\#$ $y$ $|v| > |y|$
がに委ねられている場合、はそれに対して右であり、：これは最も興味深いケースです。以降、中に含まれなければならないの一部、およびにの部分。したがって、同じおよびが（実際には、でなければなりません）。毎、その保持なので、 $v$ $\#$ $y$ $|v| = |y|$ $|vxy| ≤ p$ $v$ $1^{p}$ $s$ $y$ $0^{p}$ $v = 1^{k}$ $y = 0^{k}$ $1 ≤ k ≤ p$ $k < p/2$ $j ≥ 0$ $uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$ $m = p + j · k$ 、それからそれは矛盾してそのを保持します。これを実現するには、とる必要があります。これは、がで割り切れる場合にのみ有効です。を選択したことを思い出してくださいなので、、そして任意ので割り切れるたかったよう。 $uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$ $j = (m-p)/k$ $m − p$ $k$ $m = p + p!$ $m − p = p!$ $p!$ $1 ≤ k ≤ p$

formal-languages context-free pumping-lemma

— 無限
ソース

あなたの証明は正しいです、そして私は間違っていました。私の混乱がどこにあるかを突き止めるのにしばらく時間がかかりましたが、ユヴァルの助けを借りて、私はそれを手に入れたと思います。

3つの言語を考えてみましょう

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

ここで見たように、はコンテキストフリーです。トリックは、文法では、「右側」にシンボルを生成し、後で「左側」に（またはその逆に）数えることで、一致する位置に不一致のシンボルが表示されるようにします。長さが均一になるため、長さの条件は簡単です。スタックを使用して位置を一致させることで、同様のアイデアを持つNPDAを構築できます。 $L_=$

$L_\#$ もコンテキストフリーです。証明はさらに簡単です。不一致のシンボルは、最初のレスポンスと同じ距離で表示されます。セパレータ。異なる長さは個別にチェックできます。非決定論は、2つのオプションの間で「選択」します。

ご覧のとおり、はコンテキストフリーではありません。他の2つの言語の証明が失敗する理由はここにあります。 $L_{=\#}$

の文法では、途中でセパレータを生成する必要がある場合、シンボルを「左」から「右」に「再割り当て」することはできません。 $L_=$
代わりに、「長さが等しくない場合は受け入れるのか、私たちは」長さが等しい場合は受け入れなければならない不一致「との不一致」。非決定論はで私たちを助けることができないと！

つまり、直感的に言うと、「」と「」の形式の条件は、スタックで確認できるという意味で「コンテキストフリー」です。有限制御は使用しません。したがって、PDAはどちらか一方を実行できますが、両方は実行できません。 $x \neq y$ $|x| = |y|$

"cheats" のPDAは、とこれらの条件を実際にはチェックしないためです。別の方法で単語を分割します。セパレーターがある場合、これは不可能です。 $L_=$ $x$ $y$

補遺： CFLは逆準同型に対して閉じているため、あると大胆に主張しました。でことが事実ですが、は削除することを除いてID ですが、これは関係ありません。 ; については何も言えません。 $L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$ $f(L_{=\#}) = L_=$ $f$ $\#$ $f^{-1}(L_=) = L_\#$ $L_{=\#}$

補遺II：なお、は自明なコンテキストフリーです。したがって、を使用すると、交差に対して閉じられていないCFLの良い例があります。 $L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$ $L \cap L_\# = L_{=\#}$

— ラファエル
ソース

| w |でwsする方法 = | s | そしてw s sはコンテキストフリーであるが、w＃sはそうではない？

その証明：L#∉CFLL#∉CFLL_{\#} \notin CFL

その証明： $L_{\#} \notin CFL$