{xy ∣ | x | = | y |、x≠y}はコンテキストフリーです

コンテキストフリーと思われる言語に関する次の質問に出くわしたことを覚えていますが、事実の証拠を見つけることができませんでした。おそらく質問を思い出したでしょうか？

とにかく、ここに質問があります：

言語はコンテキストに。 $L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

formal-languages context-free

— デイブ・クラーク
ソース

ああ、それは良いものです！<3

— ラファエル

要求：はコンテキストに依存しません。 $L$

証明のアイデア：前半と後半の間に少なくとも1つの違いがなければなりません。必ず生成し、残りは任意のままにする文法を与えます。

証明：簡単にするために、バイナリアルファベット仮定します。証明は、他のサイズに簡単に拡張できます。文法考えてみましょう。 $\Sigma = \{a,b\}$ $G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

それが生成することは非常に明確です

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

疑わしい者はペアで大文字小文字を区別してとで入れ子になった帰納を行うかもしれません。現在、と通勤（直感的に言えば、とは両方とも単語の残りから独立して選択されたシンボルを含むため、シンボルを交換できます）。したがって、とは（それぞれの半分で）同じ位置にあります。これは、ためを意味します $k$ $l$ $(x,y)$ $w_2$ $v_1$ $w_2$ $v_1$ $x$ $y$ $\mathcal{L}(G) = L$ $G$ 言語に他の制限を課しません。

興味のある読者には、2つのフォローアップの問題が発生する場合があります。

演習1： PDAをください！ $L$

演習2：？ $\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$

— ラファエル
ソース

この文法を使用すると、

ような文字列を生成できます。その後、Sをabbaとして取得しました。これは生の言語Lとは異なりますが、ここに間違いはありますか？

S \to A B

$S \rightarrow AB$

A \to a

$A \rightarrow a$

B \to b B a, t h e n B \to b

$B \rightarrow bBa, then B \rightarrow b$

— George.Zhao

@ George.Zhao私は従わない。クリアリー、

と

および

？

a b b a \in L

$abba \in L$

x = a b

$x = ab$

y = b a

$y=ba$

— ラファエル