P = NPの場合、なぜ

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明らかに、もし、内のすべての言語を除いとであろう -complete。 ${\sf P}={\sf NP}$ ${\sf P}$ $\emptyset$ $\Sigma^*$ ${\sf NP}$

なぜこれら2つの言語が特に重要なのでしょうか？他の言語を、受け入れるとき、または受け入れないときに出力して、それらを減らすことはできませんか？ ${\sf P}$

complexity-theory np-complete reductions

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には文字列がないため、それを計算するマシンは常に拒否します。そのため、他の問題のYesインスタンスを何かにマッピングすることはできません。同様に、場合、No-instancesをマップするものはありません。 $\emptyset$ $\Sigma^{\ast}$

— ルーク・マティソン
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がより「硬い」ことを証明したい場合は、問題から問題への多項式簡約が必要です。我々は、任意のインスタンス変換することによって多項式低減を構築のインスタンスにのように IFF 。 $A$ $B$ $B$ $A$ $x$ $A$ $f(x)$ $B$ $x∈A$ $f(x)∈B$

関数は、多項式でなければなりません。場合及び NP問題であり、その後、それ自体が問題解決することができ問題を任意の埋め込みいくつかの要素にのと任意一部の要素にではない。 $f$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $f$ $A$ $x∈A$ $y$ $B$ $x\notin A$ $z$ $B$

場合のいずれかであるまたはその後、またはことさもなければ推論示す上方に、存在することができない困難よりも。 $B$ $∅$ $Σ^*$ $y$ $z$ $B$ $A$

— jmad
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ほんの一言：前の答えは大丈夫ですが、あなたは正しい些細な削減からそれほど遠くありません：

場合その後、任意の言語にカープの還元性である（ちょうど多項式時間ですべてのマップ 1に、すべての自明であり、0に）疎言語を $\sf{P} = \sf{NP}$ $L \in \sf{NP}$ $\{1\}$ $x \in L$ $x \notin L$

逆の方向：「完全言語がスパースセットにカープ簡約可能な場合、」は確かにより興味深いものであり、マハニーの定理として知られています。 $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

してみましょう一定であるとすべてのためになるように設定され、最大であり長さの文字列。場合であるその後、-complete 。 $c$ $A$ $n$ $A$ $n^c$ $n$ $A$ $\sf{NP}$ $\sf{P}=\sf{NP}$

— Vor
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