Myhill-Nerodeとクロージャーのプロパティ

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通常の言語は、マイヒルとネロードの等価性によって特徴付けられることはよく知られています。言語の場合はを超える同値定義上すべてのためのIFF 我々が持っている。その場合、は正規であり、が有限インデックスである場合、つまり有限数の同値類を持つ場合。 $L$ $\Sigma^*$ $x\sim_L y$ $\Sigma^*$ $z\in\Sigma^*$ $xz\in L \iff yz\in L$ $L$ $\sim_L$

この関係を使用して、同等ではない文字列を無限に示すことにより、一部の言語が正規でないことを示すことができることを知っています。

私の質問：Myhill-Nerodeを使用して、通常の言語のクロージャプロパティを簡単に表示できますか？または、言語の「構文上の合同」を使用する必要がありますか？

$x\sim_L y$ 意味するため、接頭辞の例としては簡単です。しかし、サフィックス、連結、スター、ミラーをどのように処理するのでしょうか。 $x\sim_{\mbox{pref}(L)} y$

regular-languages closure-properties

— ヘンドリック・ヤン
ソース

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MyHill-Nerode特性を使用して、ブール演算で閉鎖を行います。それがそのように行われたのを見たことがない。または同等にが合同クラスの和集合である場合、右合同は言語飽和させます。を使用しております： $\sim$ $L$

u \sim v \Rightarrow (u \in L \leftrightarrow v \in L)

$u \sim v \Rightarrow ( u \in L \leftrightarrow v \in L )$

L

$L$

定理：（MyHill-Nerode）を飽和させる有限インデックスの正しい合同がある場合に限り、言語は正規です。 $L$

ここで、通常の言語があり、それらを飽和させる有限インデックスの正しい合同をします。次に、は右合同（両方の交差）であり、両方をます。さらに、したがって、有限クラスの等価クラスがあります。また、これにより、等価クラスとの共通部分が空であるか、共通の要素あり、したがって等価クラス $L_1, L_2 \subseteq X^{\ast}$ $\sim_{L_1}, \sim_{L_2}$

あなた 〜 v ：\Leftrightarrow あなた 〜_{L_{1}} v \land あなた 〜_{L_{2}} v

$u \sim v :\Leftrightarrow u \sim_{L_1} v \land u \sim_{L_2} v$

[あなた]_{〜} = [あなた]_{〜_{L_{1}}} \cap [あなた]_{〜_{L_{2}}} 。

$[u]_{\sim} = [u]_{\sim_{L_1}} \cap [u]_{\sim_{L_2}}.$

[u]_{\sim_{L_{1}}}

$[u]_{\sim_{L_1}}$

[v]_{\sim_{L_{2}}}

$[v]_{\sim_{L_2}}$

w

$w$

[w]_{\sim}

$[w]_{\sim}$ 。これは、が空であるか、または等価クラスの和集合として記述できることを示します。上記の定理により、は正則です。

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

\sim

$\sim$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

それはのための同値クラスの和集合であるとのための同値クラスのthemselve労働組合が、ので、それはまた、規則的です。そして補足として、これは等価クラスパーティションとして続くため、機能する正しい合同はます。 $L_1 \cup L_2$ $\sim_1$ $\sim_2$ $\sim$ $X^{\ast}$ $L_1$ $X^{\ast} \setminus L_1$ $\square$

追加コメント：あなたの質問では、て正規のネロード右合同についても言及しました。これは、最も粗い右合同飽和です。我々はのNerodeさんの右合同構築することができれば今多分それは頼むのが自然かもしれませんまたは簡単に行うためのものの、または得られる交差点合同は、いくつかのNerodeさん、右合同として発生した場合。たぶん、ような単純な式を見つけることができます

あなた \equiv_{L} v ：\Leftrightarrow （ \forall w \in {バツ}^{*} ： あなた w \in L \leftrightarrow v w \in L ）

$u \equiv_L v :\Leftrightarrow (\forall w \in X^{\ast} : uw \in L \leftrightarrow vw \in L)$

L \subseteq X^{*}

$L \subseteq X^{\ast}$

L

$L$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

L_{1} \cup L_{2}

$L_1 \cup L_2$

L_{1}, L_{2}

$L_1, L_2$

あなた \equiv_{L_{1} \cap L_{2}} v \Leftrightarrow あなた \equiv_{L_{1}} v \land あなた \equiv_{L_{2}} v 。

$u \equiv_{L_1\cap L_2} v \Leftrightarrow u \equiv_{L_1} v \land u \equiv_{L_2} v.$ しかし、上記は成り立たない。そして、私の知る限りでは、単純な関係は存在しません。たとえば、およびと、現在、には少なくとも4つの合同クラスがあり、厳密に4つの合同クラスを持つを改良しています。しかし、は正確に1つのクラスがあり、は3つあります（最小限の完全なオートマトンを使用することで、すべてを簡単に見ることができます）。

L_{1} = (a a)^{*}

$L_1 = (aa)^{\ast}$

L_{2} = a (a a)^{+}

$L_2 = a(aa)^+$

L_{1} \cap L_{2} = \emptyset 、 L_{1} \cup L_{2} = {バツ}^{*} ∖ {a} 。

$L_1 \cap L_2 = \emptyset, \qquad L_1 \cup L_2 = X^{\ast} \setminus \{a\}.$

\equiv_{L_{1}} \cap \equiv_{L_{2}}

$\equiv_{L_1} \cap \equiv_{L_2}$

\equiv_{L_{2}}

$\equiv_{L_2}$

\emptyset

$\emptyset$

X^{*} ∖ {a}

$X^{\ast} \setminus \{a\}$

編集（2019.08.18）。 ミラーとサフィックスの操作は、左合同に有限インデックスがある場合、接頭辞演算と正しい合同の場合、は有限のインデックスがあります。そして、 iff ; そして、ミラー操作は全単射であるため、最後の方程式はが場合有限のインデックスを持つことを示します。

あなた \equiv^{L} v \Leftrightarrow \forall w \in {バツ}^{*} ： w あなた \in L \leftrightarrow w v \in L 。

$u \equiv^L v \Leftrightarrow \forall w \in X^* : wu \in L \leftrightarrow wv \in L.$

\equiv^{L}

$\equiv^L$

\equiv^{suffix (L)}

$\equiv^{\operatorname{suffix}(L)}$

u \equiv_{L} v

$u \equiv_L v$

mirror (u) \equiv^{mirror (L)} mirror (v)

$\operatorname{mirror}(u) \equiv^{\operatorname{mirror}(L)} \operatorname{mirror}(v)$

X^{*}

$X^*$

\equiv^{mirror (L)}

$\equiv^{\operatorname{mirror}(L)}$

\equiv_{L}

$\equiv_L$ は有限のインデックスを持っています（左の合同は、ミラーリングされた単語の右の合同と同じインデックスを持っていることに注意してください。ただし、一般に右の合同は、オートマトン理論）。

mirror (L)

$\operatorname{mirror}(L)$

したがって、両方の合同式が同時に有限のインデックスを持っているかどうかを示すことができれば、これらの操作は処理されます。このため、構文の合同この合同により、上記の両方の合同が洗練さ有限の場合、上記の合同も有限です。これはすべての iffであり、があるため、明確に定義され、単射マッピングに変換するためのクラス-equivalence

u \equiv_{S (L)} v \Leftrightarrow \forall x, y \in X^{*} : x u y \in L \Leftrightarrow x v y \in L .

$u \equiv_{S(L)} v \Leftrightarrow \forall x,y \in X^* : xuy \in L \Leftrightarrow xvy \in L.$

u \equiv_{S (L)} v

$u \equiv_{S(L)} v$

w \in X^{*}

$w \in X^*$

[w u]_{\equiv_{L}} = [w v]_{\equiv_{L}}

$[wu]_{\equiv_L} = [wv]_{\equiv_L}$

\equiv_{S (L)}

$\equiv_{S(L)}$

{[w]_{\equiv_{L}} : w \in X^{*}}

$\{ [w]_{\equiv_L} : w \in X^* \}$ 、そして後者が有限集合である場合、それらの変換の集合も有限です。これは、が有限インデックスであることを意味します。つまり、が有限のインデックスを持っている場合、は有限のインデックスを持っているということになります。逆も同様です。

\equiv_{S (L)}

$\equiv_{S(L)}$

\equiv^{L}

$\equiv^L$

\equiv_{L}

$\equiv_L$

— ステファンH
ソース

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Myhill-Nerode関係の等価クラスは、言語の最小DFAの状態でもあります。したがって、DFAを使用して簡単に表示できるものは何でも、Myhill-Nerodeの視点を使用した証明に変換できます。NFAが必要なところはどこでも、証明がより複雑になることを期待できます。

しかし、正しい答えは、自分で試してみることです。それが研究のやり方です。

— ユヴァルフィルムス
ソース

さて、私は元の研究を求めていませんでした、ありがとう。が有限インデックスであるという知識がが有限インデックスであると予測できるかどうか誰かが知っていることを望んでいました。は言語操作です。 = prefix を試しましたが、連結がエレガントな方法でどのように処理されるのかわかりません。はい、まともなDFAを構築できます。

\sim_{K}

$\sim_K$

\sim_{ϕ (K)}

$\sim_{\phi(K)}$

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

— Hendrik Jan

確かにあなたは簡単にNerodeクラスと最小限のオートマトンの間で翻訳することができますが、とにかく私はクラスを使用する証明を追加しました、そして私の知識にはそれがクラスとしてセットとして機能するので、それがどういうわけか簡単にオートマトン構築に移すことができませんでしたたとえば、オートマトンを使用して、製品のオートマトンを構築してクロージャプロパティを派生させる場合は無視されます。したがって、私はそれを「真の」Nerodeクラスの唯一の引数と見なします。

— StefanH 2017