最小でも最大でも不動点でない帰納的集合の例

一連の帰納的ルールとこれらのルールの固定小数点は存在しますが、最小または最大の固定小数点ではありませんか？

logic inductive-datatypes

— thbl2012
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これは重要な例です。

実数のサブセットを帰納的に定義したいと仮定して、完全なラティスに取り組みます $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 包含によって注文されました。

次に、ルールを検討します

\frac{}{0} \frac{x}{x + 1}

$\dfrac{\qquad}{0} \qquad \dfrac{x}{x+1}$ これにより、（単調なスコット連続）関数が誘導されます

f : P (R) \to P (R)

$f : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$ によって与えられた

f (X) = {0} \cup {x + 1 | x \in X}

$f(X) = \{0\} \cup \{ x+1 \ |\ x\in X\}$

以下のすべてが固定点です $f$ ：

定義を整形式にしたい場合は、ルールを指定するだけでなく、固定点を1つ選択する必要があります。これは通常、最小（誘導）または最大（誘導）を取ることによって行われます。

— カイ
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マイナーなnitですが、適切なサブセットを一意に選択するためにleast / greatestまたはその他のプロパティを指定しないと、これは実数のサブセットを帰納的に定義しません。

— Derek Elkinsが

@DerekElkins同意する。それについてのメモを追加しました。

— 2017年

@DerekElkins答えは、何かを定義しているとは主張していません。それは何かを定義したいと仮定し、いくつかのルールを与え、それらのルールには固定点がたくさんあると述べています。

— David Richerby 2017年

@DavidRicherby確かに、それは私の意図でした。それでも、私が書いた内容を少し超えて読むことができることがわかるので、とにかく最後のメモを追加しました。

— 2017年

@ thbl2012最大の固定点は、作業する完全なラティスの選択に非常に敏感です。ここでは、

R

$\mathbb{R}$ 私の格子の一番上の要素として、しかし私は例えば

Q

$\mathbb{Q}$ または

C

$\mathbb{C}$ 。もう1つの一般的な選択は、オクストラクタの有限または無限のシンボリックアプリケーションのセットです。

N \cup {\infty}

$\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ どこ

\infty

$\infty$ ここでは、無限に何度も適用された後継者を表しています。したがって、あなたの教授は完全に正しいです、彼は単に別の完全なラティスを選びました。

— 2017年

すべてのセットは、空のルールセットまたは自明なルールの固定小数点です。 $x\in X\Rightarrow x\in X$ 。

— デイビッド・リチャービー
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