通常の言語のクローズは、特定のカット操作の下でクローズされます

ましょう整数関数です。言語場合、次を定義します$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$L$

$$f(L) = \{w \mid \exists x : |x| = f(|w|) \text{ and } wx \in L\}$$

たとえば、これは「半分」の演算であり、通常の言語はこの下で閉じられることがよく知られています-前方と後方を同時に歩くだけです（後方に歩くと、可能なすべてのパスが試行されます。サブセットの構築）。$f(n) = n$

HMUによると、通常の言語も関数を使用してクローズされます。、またはそのことについての任意の線形関数については、簡単に確認できます。速度に関係なく、後ろに歩いただけです。これはまたはどのように実行できますか？これまでのステップ数を覚えておく必要があるため、速度を上げるだけでは実現不可能と思われます。$2n, n^2, 2^n$$2n$$n^2$$2^n$

また、がこの特性を持つ一般的な十分な条件を取得するために、ソリューションを適応できますか？（私は必要十分な条件があるとは思いませんが、間違って証明されたいと思います）$f$

DFAを利用する $\langle Q,q_0,F,\delta \rangle$ ために $L$。すべての州のために$q \in Q$、 と知られている

$$N_q = \{ n : \delta(q,x) \in F \text{ for some $|x|=n$} \}$$ 最終的に定期的なセットです。これらの用語では、 $$f(L) = \bigcup_{q \in Q} \{ w : \delta(q_0,w) = q \text{ and } |w|+f(|w|) \in N_q\}.$$ いくつかの簡単な議論はそれを示しています $f$ある許容（正規言語のセットが閉じ下にあります$f$）すべての係数の場合 $m$、DFAがあります $\langle Q',q'_0,\delta' \rangle$ アルファベット以上 $\{0\}$ 「計算する」 $|w|+f(|w|) \bmod m$、入力、からを回復できるという意味で。これは、すべての係数に対して、からへの関数マッピングが最終的に周期的である場合に発生します。以来自体が周期的である、我々はそれを結論します：$0^n$$n+f(n) \bmod{m}$$\delta'(q'_0,0^n)$$m$$n$$n+f(n) \bmod{m}$$n \bmod{m}$

関数はすべてので許容されるiff であり、関数は最終的に周期的です。$f$$m$$\psi_{f,m}(n) = f(n) \bmod{m}$

中国の剰余定理は、素数である値を考慮すれば十分であることを示しています。$m$

すべての多項式は明らかに許容されますが多項式の場合、周期はです。指数関数も使用できます場合、場合はは最終的にゼロ、または場合はオイラー式は、周期がます。$f$$\psi_{f,m}$$m$$a^n$$m=p^k$$p \mid a$$\psi_{f,m}$$(p,a)=1$$\psi_{f,m}$$\varphi(m)$

許容される関数のセットをさらに特徴付けることができるかどうかはわかりません。これは興味深い研究の方向性です。