学生の合計時間を最小化するための最適な質問のシーケンスを見つける

大学でチュートリアルセッションがあるとします。私たちは、一連の持っている質問との集合の学生。各学生は、すなわち、各学生のために、質問の特定のサブセットに疑問を持っている、聞かせて生徒が疑問を持っていることを質問の集合とします。仮定と。 $k$ $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ $n$ $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ $s_j$ $Q_j \subseteq Q$ $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$

すべての生徒は最初（ $t = 0$ ）にチュートリアルセッションに入ります。現在、学生は、疑問を抱いているすべての質問について話し合うとすぐにチュートリアルセッションを終了します。各質問について議論するのにかかる時間が等しいと仮定します。たとえば、1単位ます。ましょう費やす時間もチュートリアルセッションで。我々は、最適な順列を知りたい問題が議論されているがような量 $^*$ $t_j$ $s_j$ $\sigma$ $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$ 最小化されます。

多項式時間アルゴリズムを設計することも、 $\mathsf{NP}$ 硬さを証明することもできませんでした。

我々は、問題の決定バージョン定義することができる

T U T = {⟨ k, n, F Q, C ⟩ ∣ \exists σ : T σ \leq C}

$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$

ここで、 $\mathcal{F}_Q$ は $Q_j$ のセットです。

我々は、最小を見つけることができに使用してバイナリ検索、最適を見つけるに部分的割り当てを使用しては、Oracleを使用して多項式時間で。また、最適ので、我々は多項式時間で容易に確認することができる証明書として使用することができます。 $T_\sigma$ $C$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ $\sigma$

私の質問：完全ですか？それとも多項式時間アルゴリズムを設計できますか？ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

補足：ちなみに、この質問は実際のチュートリアルセッションの後で考えました。TAは通常の順序質問を議論しました。 $q_1 \ldots q_n$

例えば
レッツ及び。および。我々が見ることができる最適なその場合、ので後の葉を及び葉後に $k=3$ $n=2$ $Q_1 = \{q_3\}$ $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$ $s_1$ $t_1 = 1$ $s_2$ 、合計は4であるので、私たちは順番に質問を議論ならば、しかし、そしておよび両端まで待つとしなければならないので、合計は6です。 $t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$ $s_1$ $s_2$ $t_1 = t_2 = 3$

各質問が単位で議論するより一般的なケースを自由に解くことができます！ $^*$ $q_i$ $x_i$

— skankhunt42
ソース

明確にするために、すべての生徒は同時に入場しますか、それとも最初の質問が出された瞬間から入場しますか？

— 離散トカゲ

@Discretelizardすべての学生が最初に同時に入場します（t = 0）。

— skankhunt42

現在の定義では、質問セットは一意です。つまり、質問セットは多くても1人の学生に属します。これは合理的な単純化である可能性がありますが、これが現実的であるとは思いません（そして、これは問題の複雑さに大いに役立つとは思いません）

— 離散トカゲ

2人の生徒がまったく同じ質問のセットを持つことができると思うので、待ち時間は2倍になります。

— gnasher729

問題はNP困難であると思われます。NP困難な問題に強く関連するように問題を変換する方法を示します。（はい、これはかなり曖昧です。基本的に私の一般的なアプローチは正しいと思いますが、現在は続行できません。） $\mathsf{TUT}$

まず、問題は次のように再定式化できることに注意してください。 $\mathsf{TUT}$

質問のセット所与サイズののセットの部分集合と整数、配列が存在しそのような全てのために、その： $Q$ $k$ $n$ $\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$ $C$ $\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$ $i \in\{1,\ldots,k\}$

と ; そして $S_i\subseteq Q$ $|S_i|=i$
すべてのため。そして $S_i \subset S_j$ $j>i$
？ $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

集合は、説明する最初の質問を表すことに注意してください。条件1および2は、この解釈に従ってサブセットが適切に形成されていることを保証します。条件3は、すべての時間に残していない生徒の数をカウントするため、実際には、すべての生徒の合計待機時間になります。 $S_i$ $i$

今、我々は、中のサブセットのサイズ制限に我々は頂点からの元素であるグラフ上のエッジとしてこれらのサブセットを表すことができるので、。（この特殊なケースの硬度結果は、一般的な問題の硬度に十分です） $\mathcal{F}_Q$ $2$ $Q$

さて、最小化の問題単一のために（これは、本質的に条件2を無視している）私は「ダビングされ、次のような問題と等価である」 $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i$ $\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

無向グラフ所与と整数および、頂点の集合が存在するせいぜいサイズのように設定少なくともの大き有する？ $G=(V,E)$ $k$ $t$ $V'\subseteq V$ $k$ $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ $t$

この問題はNP困難です。なぜなら、この答えが示すように、クリークはこの問題の特殊なケースだからです。しかし、これは証明するのに十分ではありません、我々はすべてのための最大見つける必要があるため、NP困難であることをこの条件は、すべてのシーケンスによって満たされていない条件2を尊重しつつ、を満たす唯一の条件1と3：サイズ 1つと他のサイズ 2つの互いに素なサイクルを持つつの頂点のグラフを考えます。以下のために、のすべての頂点を選択の全ての頂点を選択しながら-cycleは、最大値を与える $k$ $\mathsf{TUT}$ $i$ $\Sigma$ $7$ $4$ $3$ $i=3$ $3$ $4$ -cycleは最適です。 $i=4$

条件2は問題をさらに難しくし、間違いなく簡単ではないようです。つまり、はNP困難であるべきですが、これを正式に証明する方法は見当たりません。 $\mathsf{TUT}$

したがって、要約すると、質問を次のように減らしました。

硬度証明を完了するために条件2を含めることは可能ですか？ $\mathsf{TUT}$

サイドノート：私が与えた定式化は、を見つける反復アルゴリズムを試してみたいと思いますからの条件2で、すべての最大セットの最大「拡張」を見つける。1回の反復での最大セットの量はで指数関数的である可能性があるため、これは効率的なアルゴリズムにはつながりません。さらに、一部のサブセットを決定する方法を見たことがない $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i=1\ldots k$ $i-1$ $k$ $i$ サブセットの指数関数的な量をチェックすることを防ぐために、最終的に「グローバルな」最大値になります。

— 離散トカゲ
ソース