ヒルベルトの10番目の問題に関する質問

および与えられると、公式演算の言語で次の式を定義できます $n \in \mathbb{N}$ $p,q \in \mathbb{N}[x_1,\ldots,x_n]$

φ (n, p, q) = \forall x_{1} \dots \forall x_{n} : \neg (p (x_{1}, \dots, x_{n}) = q (x_{1}, \dots, x_{n}))

$\varphi(n,p,q) = \forall x_1 \cdots \forall x_n : \neg (p(x_1,\ldots,x_n) = q(x_1,\ldots,x_n))$

もも形式的な演算の定理ではないような無限に多くのトリプルがあることを示したいと思います。 $(n,p,q)$ $\varphi(n,p,q)$ $\neg \varphi(n,p,q)$

これを示す際に、多項式に自然なゼロがあるかどうかを決定する問題は決定不可能であるという事実を使用できます。 $r \in \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$

上記の事実を知っているので、多項式があり、どちらのまた、は定理ではありません。（ここで、量指定子は自然のものを超えていますが、意図的に使用できるかどうかはわかりません。） $r \in \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$

φ^{'} = \forall x_{1} \dots \forall x_{n} : \neg (r (x) = 0)

$\varphi' = \forall x_1 \cdots \forall x_n : \neg (r(x) = 0)$

\neg φ^{'}

$\neg \varphi'$

このような得られたら、 for書くことができます、したがってとも定理ではありません。は論理的にと同等であり、これは定理ではありません。 $r$

r (x_{1}, \dots, x_{n}) = p (x_{1}, \dots, x_{r}) - q (x_{1}, \dots, x_{n})

$r(x_1,\ldots,x_n) = p(x_1,\ldots,x_r) - q(x_1,\ldots,x_n)$

p, q \in N [x_{1}, \dots, x_{n}]

$p,q \in \mathbb{N}[x_1,\ldots,x_n]$

φ (n, p, q)

$\varphi(n,p,q)$

\neg φ (n, p, q)

$\neg \varphi(n,p,q)$

φ

$\varphi$

φ^{'}

$\varphi'$

このようなトリプルが1つあれば、をとることができるので、無限に多くのトリプルがあります $(n,p,q)$ $(n,p+k,q+k)$ $k \in \mathbb{N}.$

上記の理由が正しいかどうか疑問に思う前にそのようなことをしたことがないので？

computability logic undecidability

— イェルネイ
ソース

また、一定の係数で両側を乗算することもできます...

— cody

「アフィン変換」とは関係のない（p、q）の無限ペアを見つける方が興味深いでしょう。私もこれを示す比較的簡単な議論があると思います。

— cody

変数代わりにまたはを使用して、「異なる」ペアを取得できます。

a + b

$a+b$

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

$a^2+b^2+c^2+d^2$

x_{i}

$x_i$

(p, q)

$(p,q)$

— Yuval Filmus

Yuvalとcodyが指摘したように、証明も反論もできない無限のディオファントス方程式を簡単に解くことができます（PAで言いましょう）。

ただし、これらの構文ソリューションは、証明可能な同等のセット、すなわち理論がそれらが同等であることを証明できるセットをもたらします。これらはパディング引数と見なすことができます。別の方法は、まったく使用されない変数を追加することです。

一部の文字列を明示的に追加または削除して遊ぶこともできます（セットの有限バリエーション）。

「本質的に」異なるディオファントス方程式を取得したい場合（たとえば、セットがチューリング等価ではない場合）、それはより困難であり、独立したディオファントス方程式があることを知っているだけでは十分ではないと思うので、すべてのreセットは、ディオファントス方程式（または類似のもの）としてエンコードできます。

ps：独立性のみを重視するため、これらの式を否定ではなくディオファントス方程式として表すのがより自然です。

— カヴェ
ソース