計算可能な全単射関数のみを実装できるプログラミング言語？

fが計算可能な全単射関数の場合に限り、関数を実装（または表現）できるプログラミング言語（またはロジック）はありますか？$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$$f$

そのような言葉はありません。

ただし、Boomerangを見てください。文字列間の全単射を書くための言語です。どれだけ広い範囲の地図が表現可能かはわかりませんが、少し検索すればわかると思います。

有効なプログラムのセットがインタープリターまたはコンパイラーによって認識可能であること、つまり計算可能に列挙可能なセットであることをプログラミング言語に要求することは合理的です。次に、有効なプログラムのセットが計算可能に列挙可能で、計算可能なすべての全単射正確に実装したプログラミング言語があるとします。これは、すべての計算可能な全単射を計算可能に列挙できることを意味します（このプログラミング言語のすべての有効なプログラムを単純に列挙できます）が、これは次の定理では不可能です。$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

定理： と仮定計算全単射の計算シーケンスです。次に、シーケンスにない計算可能な全単射があります。$f_0, f_1, f_2, \ldots$

証明。全単射を以下のように構築します。値g （2 k ）とg （2 k + 1 ）を定義するには、f k（2 k ）を見てください。$g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$g(2 k)$$g(2 k + 1)$$f_k(2 k)$

• 場合、次にセットG （2 kは）= 2 、K + 1及びG （2 K + 1 ）= 2 kは、$f_k(2 k) = 2 k$$g(2 k) = 2 k + 1$$g(2 k + 1) = 2 k$
• $f_k(2 k) \neq 2 k$$g(2 k) = 2 k$$g(2 k + 1) = 2 k + 1$

$k \in \mathbb{N}$$g$$f_k$$g(2 k) \neq f_k(2 k)$$g$