多角形を別の多角形の内側にパックする方法は？

エッジを縫い合わせてジャグリングボールを作りたい革シートをいくつか注文しました。ボールの形状にプラトンの立体を使用しています。

革のシートをスキャンして、革のシートの形状に近いポリゴンを生成できます（ご存知のように、動物の皮であり、長方形ではありません）。

それで、ジャグリングボールのサイズを最大化したいと思います。

私の例では、ポリゴンは通常のものですが、単純なポリゴンを使用したソリューションを探しています。

すべてがシート内に収まるようにポリゴンに適用できる最大のスケールファクターは何ですか？

できるだけ多くの材料を使用して、無駄を最小限に抑えようとしています。

明らかに、多面体ネットを個々の多角形にカットすると、可能な組み合わせのスペースが増加しますが、最終的なジオメトリの品質も低下します。これは、縫製が多く、エラーが蓄積されるためです。しかし、この質問は、多面体を展開するさまざまな方法を列挙することではありません。それらは独立して考えることができます。したがって、ポリゴンは単純なポリゴンです。

正式に：

入力：

• $P$：単純なポリゴン（ターゲット）
• $S$：配置したいポリゴンのセット
• $G$：単純なポリゴンのグラフ-各ノードは単純なポリゴンを表し、共通のエッジを共有するポリゴンの各ペア間に1つのエッジエッジがあります $n$$S$
• $\alpha >= 0, \beta >= 0$（素材と接続性の使用）

出力：

• スケール係数$f$
• $H$、部分グラフ$G$
• $Loc$：各ポリゴンの位置と角度$V(G)$
• 解の品質尺度：M = α 。F + β 。| E （H ）$m$$m = \alpha.f + \beta. {|E(H)|\over|E(G)|}$

次の条件に従って最大化します。$m$

• $| V(H) | = |V(G)|$ （1）
• $| E(H) | <= |E(G)|$ （2）
• すべてのポリゴンので、係数によってスケーリング位置での内側にある（3） S S i f L o c （S i）$S_i$$S$$S_i$$f$$Loc(S_i)$$P$
• V（H）のポリゴン$V(H)$は重なりません（4）

（V（G）はグラフの頂点で、Sは多角形のセットですが、それらは同じオブジェクトのセットを表します。これを行うためのよりコンパクトな方法があるかもしれません。）

条件の説明：

• （1）すべてのポリゴンを最終レイアウトに配置する
• （2）必要に応じて一部の接続が切断される場合があります
• （3）（4）ボールは革でできている

これがターゲットポリゴンです

これが、パックしたいポリゴンのセットです。

これは、パッキング問題と呼ばれる問題の最適化クラスに属します。あなたの場合、コンテナとしての通常のポリゴンの代わりに、不規則なポリゴンがありますが、考え方は同じです。
これらの最適化の問題は通常NP困難であるため、正確な解決策を得る簡単な方法はないと思います。
この種の問題に興味がある人もいます。解決された特定の梱包問題のこのリンクを見つけました：http : //www2.stetson.edu/~efriedma/packing.html

私が見る最も簡単な方法は、レザーシートのほぼ中央を定義し、そこにポリゴンのセットを移動し、スケールを上下させて、ポリゴンのセットがターゲットポリゴン内にあるかどうかを確認することです。希望するポリゴンのセットに対して、より近い縮尺係数「f」。

ただし、大規模なジャグリングボールの生産にこの要素を使用する場合を除き、おそらく手作業で行うだけで十分でしょう。