ユニパシーグラフはいくつのエッジを持つことができますか？

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ユニパシーグラフは、1つの頂点から他の頂点への単純なパスが最大1つであるような有向グラフです。

ユニパシーグラフにはサイクルがあります。たとえば、二重にリンクされたリスト（円形のリストではありません！）は単一パスのグラフです。リストに要素がある場合、グラフには長さ2のサイクル、合計ます。 $n$ $n-1$ $2(n-1)$

個の頂点を持つユニパシーグラフのエッジの最大数はいくつですか？漸近的な境界があります（例：または）。 $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{計量された単一経路グラフで最短経路を見つけることに触発されました。で、私の証明、私は当初、エッジの数があったと主張したかったが、その後のサイクル数を境界とすることは十分であったことに気づきました。 $O(n)$}

graphs combinatorics

— ジル「SO-悪であるのをやめる」
ソース

いい質問です。私たちはあなたの下限か私の上限のどちらかを改善しようとするべきです:)。

— RB

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ユニパシーグラフはエッジを持つことができます。ユニパシーであり、 2/4のエッジを持つよく知られた種類のグラフがあります。 $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

指向エッジを備えた完全な2部グラフを考えます。このグラフは単発性であり、サイクルはありません。すべてのパスの長さはです。それは有するの頂点とエッジを。 $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{（次の質問：この比率は最大ですか？おそらくそうではありませんが、別の例はありません。この例は、既存のノードの間に追加したエッジがunipathicプロパティを破壊するという意味で最大です。）}

— ジル「SO-悪であるのをやめる」
ソース

「既存のノード間に追加したいずれかのエッジは、ユニパシープロパティを破壊します」エッジを追加すると、プロパティが破壊されますか？

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— ミッチ

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— ジル「SO-悪を止めろ」

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その日私の心はどういうわけかユニパシーだったと思います:)最大に関しては、比率は大きなに対して1/4になるかもしれませんが、、二重にリンクされたリストは 2/4よりも多くのエッジ。

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— ミッチ

0

を超えるエッジにユニパシーグラフがあるかどうかはわかりませんが、超えるエッジは使用できないことを示す引数を次に示します。 $\frac{n^2}{4}$ $\frac{n^2}{2}+3$

矛盾により、はようなユニパシーグラフであると仮定します。 $G=(V,E)$ $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

ピジョンホールの原理により、ようなが存在し $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

示す $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

頂点があり、 $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

その場合、グラフはユニパスではありませんおよびは両方とも有効なパスです）。 $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

つまり、（からエッジを追加する）： $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

したがって、の頂点の平均次数は最大2であるため、 $U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
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