重み付きユニパシーグラフで最短経路を見つける

有向グラフは、グラフ任意の2つの頂点とに対して、からへの単純なパスが最大1つである場合、ユニパシーであると言われます。 $u$ $v$ $G=(V,E)$ $u$ $v$

各エッジに正または負の重みがあり、負の重みサイクルが含まれていないような、ユニパスグラフが与えられたとします。 $G$

これから、ソースノードからすべてのノードへのすべての最短パスを見つけるアルゴリズムを見つけたいです。 $O(|V|)$ $s$

私はこの問題にどのように取り組むのか分かりません。負のウェイトサイクルが含まれていないという事実と、もちろんノードからまでの最大1つの単純なパスをどのように使用できるかを確認しようとしています。 $u$ $v$

algorithms graphs

— グプライム
ソース

これまでに何を試しましたか？あなたが完全に立ち往生している場合、小さく始めましょう：ユニパシーグラフは実際にどのように見えますか？たとえば、1つの頂点、2つの頂点、3つの頂点などですべてのユニパシーグラフを描画します。役立つパターンを見つけることができます。さらに、負の重量サイクルはありませんが、（任意の重量の）サイクルさえ存在する可能性がありますか？

— ジュホ

@mrmどのようなパターンを考えていますか？ユニパシーグラフは、表現が簡単な方法を見つけることができないという制約された方法で、サイクルを持つことができます。

— ジル「SO-悪であるのをやめる」

@mrmいいえ。エッジは最大1つのサイクルに属することができます。：ノードはサイクルの任意の数に属することができ

-pointed星状グラフ

unipathicある（あなたがより高い得ることができノードあたりの基本サイクルの比率）。

n

$n$

E = ⋃_{i \leq n} {(a, b_{i}), (b_{i}, a)}

$E=\bigcup_{i\le n} \{(a,b_i),(b_i,a)\}$

— ジル「SO-悪であるのをやめる」

データ表現を選択する

まず、結果のサイズを見てください。から他のすべてのノードへの最短パスのコレクションが必要です。パスの平均長が定数で制限されていない限り（これはそうではありません：リストはunipathであり、のルートを取得する場合、パスの合計長は（はリストの長さ）、データ表現に注意する必要があります。パスを含む構造は、パス間の共有を使用する必要があります。 $s$ $s$ $n(n-1)/2$ $n$

サイクルを除くと、から他のノードへの単一のパスがあります。そのパスが中間ノードを通過する場合、パスの最初のセグメントはからへの望ましいパスです。 $s$ $u$ $t$ $s$ $t$

からまでの番号が付けられたノードによってインデックス付けされた配列に結果を保存することを提案します、。アレイストア内の各要素そのノードへの経路上で前のノードのインデックス（例えば、使用するから到達不能なノードのための特別なマーカーとして）。経路にあろう $0$ $|E|-1$ $s=0$ $-1$ $s$ $s$ $t$ 。 $(s=R[\ldots R[t]\ldots],\ldots,R[R[t]],R[t],t)$

グラフを走査する

をall 初期化します。 $R$ $-1$

から始まるグラフの深さ優先または幅優先のトラバースを実行します。ノードに到達するたびに、をその前身に設定します。 $s$ $u$ $R[u]$

サイクルがあるため、ノードに複数回到達する場合があります。持つあることを示し、既に訪問されました。 $R[u] \ne -1$ $u$

正当性を証明する

unipathicプロパティのため、サイクルを完了していない限り、各ノードにどのように到達するかは関係ありません。単純なパスは1つだけです。

複雑さを証明する

アルゴリズムは各ノードに複数回到達する可能性があるため、その複雑さがであることは明らかではありません。実際に行われる作業は、ここで、はソースから到達可能なエッジです。より正確には、1つの状況でノードに複数回到達します。ノードが特定のサイクルで最初に到達する場合、この場合は2回到達します（単純なパスから1回、サイクルの完了後に1回））。 $O(|V|)$ $\Theta(|E_0|)$ $V_0$

じゃあ。ユニパシーグラフでは、基本サイクルの数がノードの数に比例して増加することを証明しましょう。（基本サイクルは、より短いサイクルを含まないサイクルです。）次の説明では、グラフには自己エッジがないと仮定します（ノードからそれ自体へのエッジはありません。）。

ユニパシーグラフはサイクルを持つことができますが、非常に制約された方法です。何らかの方法で各サイクルを個別のノード（または少なくとも、ノードごとに最大で制限された数のサイクル）に関連付けることができれば便利です。サイクルはノードを共有できますか？残念ながらそうです。

1つのノードをすべて共有し、他のノードを共有しないサイクルを持つことができます。結果のグラフはユニパシーです。長さ2のサイクルで、これは、中央ノードを有するスターパターンであり、および任意の数のノードように。 $m$ $a$ $a$ $b_i$ $\forall i, a \leftrightarrows b_i$

ですから、もっと一生懸命働く必要があります。さて、帰納的に証明してみましょう。LET グラフ内のノードの数である、のエッジの数と自己エッジない基本サイクル数。がユニパシーで空でない場合、と断言します。 $\#V(G)$ $G$ $\#E(G)$ $\#C(G)$ $G$ $\#C(G) \le \#V(G)-1$

1つまたは2つのノードを持つグラフの場合、これは明らかです。アサーションは、そのすべてのグラフに当てはまると仮定およびlet 有するunipathicグラフであるノード。にサイクルがない場合、、ケースは閉じられます。それ以外の場合、基本サイクルとします。 $\#V(G) < n$ $G$ $n$ $G$ $0 = \#C(G) < \#V(G)$ $(a_1,\ldots,a_m)$

サイクルを折りたたむ：、ノードがマイナスプラスノードあり、エッジが含まないすべてのエッジであり、プラスたびとたび $G'$ $G$ $\{a_1,\ldots,a_m\}$ $a$ $G$ $a_i$ $a \rightarrow_{G'} b$ $\exists i, a_i \rightarrow_G b$ $b \rightarrow_{G'} a$ 。内のすべてのパスで誘導パス（パスが含まれる場合は、それまでにこれを置き換えるで）。したがって、は単発性です。でサイクルので、エッジを共有しない、内のすべてのサイクルがある我々は排除1を除いた： $\exists i, b \rightarrow_G a_i$ $G'$ $G$ $b \rightarrow a \rightarrow c$ $b \rightarrow a_i \rightarrow a_{i+1} \rightarrow \ldots \rightarrow a_j \rightarrow c$ $G$ $G'$ $G$ $G'$ $G$ 。誘導によって、。ため、我々は $\#C(G') = \#C(G)-1$ $\#C(G') \le \#V(G')-1$ $\#V(G') = \#V(G) - m + 1$ 。 $\#C(G) = \#C(G')+1 \le \#V(G) - m = n-m \le n-1$

これで証明は終わりです。トラバーサルは最大続きますエッジ。 $2|V|-2$

— ジル「SO-悪をやめろ」
ソース