エッジ支配セットのNP完全性の簡単な証明

グラフでは、エッジ支配セットはエッジのサブセットDであり、グラフのいずれかのエッジがDにあるか、Dのエッジと端点を共有しています。最小エッジ支配セットの問題は、エッジ支配セットを見つけることです。最小カーディナリティの。この問題の決定版はNP完全であることが知られていますが、この事実の比較的単純な証明が知られているかどうかを確認したいと思います。

私が文献で見つけた唯一の証拠は、この問題に最初に取り組んだGavrilとYannakakisによる論文です。ただし、上記の証明は、頂点カバーが平面3次グラフではNP完全であること、および次数dの2部グラフをdエッジ色にすることができることを利用しています。私は、アルゴリズムコースを受講した大学生に一般的に知られている事実のみを利用する、より単純な証明を望みます。

最小エッジ支配集合問題のみが一般的なグラフのNP完全であることを示したいと思います（つまり、構築されたグラフがどのようなプロパティを持っているかは気にしません）。

見逃した場合は、同じ論文の3-SATから間違いなく単純な削減があります（定理2を参照）。削減は、それ以上の「専門家」知識を想定していません。結果のグラフの最大次数の二部性と有界性の検証をスキップすることで、プレゼンテーションをさらに簡単にすることができます。

エッジ支配集合問題の紙近似硬度の単純な減少があります（ChlebíkおよびChlebíková、Journal of Combinatorial Optimization 11（3）：279–290、2006）。

削減は、すべてのノードに接続されたユニバーサル頂点を追加し、すべてのエッジをで、中央の頂点に追加されたペンダントエッジに置き換えることです。新しいグラフには、元のサイズ頂点カバーがある場合に限り、エッジを支配する一連のサイズがあります。ガジェットごとに少なくとも1つのエッジが必要です。残りは古典的です。（実際には、ユニバーサル頂点は必要ないと思います）$P_5$$|E|+k$$k$

頂点カバーをエッジ支配セットに減らし、証明を完了します。頂点カバー問題の決定バージョンのインスタンスが与えられた場合、新しいエッジをに追加してを構築します。ここで、はの頂点の数です。$I(G,k)$$G'$$nk+k$$G$$n$$G$

• 新しい頂点を追加します。$k$
• これらの新しい各頂点と各頂点の間にエッジを追加します。中間エッジと呼ばれる完全にエッジです。$G$$nk$
• 新しい頂点のそれぞれにペンダントエッジを追加します。完全にエッジです。$k$

エッジ支配セットに少なくともエッジが含まれていることを確認します。また、サイズ一連の境界を示すエッジは、中間エッジのみを含むことができます。その後、我々は、と主張サイズの頂点カバー有する IFFサイズのセット支配縁有する。$G'$$k$$k$$G'$$G$$k$$G'$$k$