取る一連の問題

各問題の最も効率的なアルゴリズムが取る決定問題の無限シーケンスを知っていますか？ $\Theta(n^k)$ 時間、場所 $k$ 限りなく増加しますか？

たとえば、kクリークを見つけるには、 $\Theta(n^k)$、このシーケンスは{1-clique、2-clique、3-clique、...}のようになります。しかし、おそらくk-cliqueにはより効率的なアルゴリズムがあるため、この答えは正しくありません。

編集：

• 時間階層定理含み（「Pは、（DTIMEに崩壊しません$n^k$）固定の場合 $k$"）、そのようなシーケンスが存在する必要があります。
• コメントでいくつかの議論の後、一般的なNP問題は良い候補ではありません。それだけかかる場合$O(n)$ 証明書をチェックする時間（または $O(n^c)$、 どこ $c$ から独立した定数です $k$）、それは $P\neq NP$

計算モデルは開いたままにします。質問がランダムアクセスマシン（RAM）に関するものであると想定します。これは、多項式時間で実際の指数を求めるときに慣例であるためです。

しましょう $P_k$ RAM（のエンコーディング）のセット $M$、 そのような $M$ せいぜい停止する $|M|^k$ 最大で初期を使用するステップ $|M|^k$メモリセル。ユニバーサルRAMが解決できる$P_k$ に $O(n^k)$。

一方、 $P_k$ の普遍的な問題です $DTIME(n^k)$（RAMモデルおよび線形時間削減の場合）。時間階層の定理のRAMバージョンの特殊なケースとして、単純な対角化は、$P_k$ 実行時間があります $\Omega(n^k)$。したがって、の複雑さ$P_k$ です $\Theta(n^k)$ 尋ねられたように。

タイトネスは、計算モデルに大きく依存しています。時間階層定理のチューリングマシンバージョンには、$\log n$ギャップ。しましょう$P'_k$ チューリングマシン（のエンコーディング）のセット $M$、 そのような $M$ せいぜい停止する $\frac{|M|^k}{\log n}$ステップ。その後$P'_k$ で解決することができます $n^k$ ユニバーサルチューリングマシンによる時間とすべてのアルゴリズムの実行時間 $\Omega(\frac{n^k}{\log n})$。これができる最善の方法だと思います。

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コメントでは、グラフの問題やロジックなど、より一般的な問題を求めます。

まず、方法を指摘させてください $k$-クリーク（回答で提案されているように）は良い候補のようには見えません。それを証明できれば$k$-クリークには時間が必要です $\Omega(n^k)$ （または $\Omega(n^{f(k)})$ いくつかの無制限の $f$）、クリークはPにないことを暗示しています。したがって、PはNPとは異なります。それは簡単ではないでしょう。同じことが、NPにあることがわかっている他の問題のスライス、またはPとは異なることがわかっていないPSPACEなどの他のクラスにも当てはまります。

すべての問題は、入力をグラフとしてエンコードすることにより、グラフの問題と言い換えることができます。のグラフバージョンを呼び出すかどうかはわかりません$P_k$従来の。私はそれを自然とは言いません。

ロジックに関しては、例を提供できます。ただし、ブール論理ではなく、下限と上限の間にギャップがあります。この例は、Immerman-Vardiの定理に基づいています。しましょう$\mathcal L$最小固定小数点演算子によって拡張された一次論理であること。しましょう${\mathcal L}^k$ フラグメントを示します $k$1次変数を使用できます。変数の再利用が許可されているため、制限は各サブ数式に最大で$k$自由変数。問題$M_k$ はモデルチェックの問題です ${\mathcal L}^k$、それは式の入力です $\varphi\in{\mathcal L}^k$ と構造 $\mathfrak A$ 一致する語彙のタスクは、 $\mathfrak A\models\varphi$、つまり $\varphi$ で本当です $\mathfrak A$。

$M_k$ 時間内に解決することができます $O(n^{2k+1})$。一方、一定の$c$、 $M_{3k+c}$ 難しい $DTIME(n^k)$ （必要な場所 $n^k$メモリセルの内容にバインドされています）。私は信じている$c=2$十分です。対角化からそれを得る$M_{3k+c}$ 時間を要します $\Omega(n^k)$、 そう $M_k$ 時間を要します $\Omega(n^{\frac{k-c}3})$。限界はという意味ではタイトではありません$\Theta(n^{k'})$ いくつかのための $k'$、しかし少なくとも私達は持っています $n^{\Theta(k)}$。