述語論理の有効性決定可能性問題へのPCPの削減の証明の要素を解釈する目的は何ですか？

私の質問は、2004年の本、Logic in Computer Science：Modeling and Reasoning Systems（2nd Edition）のテキストの一部に直接関連しているため、次のディスカッションのコンテキストを提供するために、Michael HuthとMark Ryanによる本を逐語的に引用する：

述語論理における妥当性の決定問題は決定不可能です。が与えられた場合、かどうかを決定するプログラムは存在しません。$\varphi$$\varphi$

証明：前述のように、述語論理の有効性は決定可能であり、それによって（不溶性の）Post対応問題を解決します。対応問題のインスタンス与えられた場合： 有限の空間と時間内で均一に構築できる必要があるため、すべてのインスタンスに対して、のような述語論理のいくつかの公式上記の対応問題インスタンス解がある場合に限ります。$C$

$$s_1 s_2 ... s_k$$ $$t_1 t_2 ... t_k$$ $\varphi$$\varphi$$C$

関数シンボルとして、定数と2つの関数シンボルおよびを選択します。それぞれに1つの引数が必要です。私たちが考える空の文字列、またはワードとして、そしてとあれば、それぞれ1、象徴0との連結のためのスタンドビットのバイナリ文字列である、我々は長期的なように、そのアップをコーディングでき。このコーディングはその単語のスペルを逆にすることに注意してください。これらの数式を読みやすくするために、ような用語を。$e$$f_0$$f_1$$e$$f_0$$f_1$$b_1 b_2 ... b_l$$f_{b_l}(f_{b_{l−1}}...(f_{b_2}(f_{b_1}(e)))...)$$f_{b_l}(f_{b_{l−1}}...(f_{b_2}(f_{b_1}(t)))...)$$f_{{b_1}{b_2}...{b_l}}(t)$

また、2つの引数を期待する述語記号も必要です。意図した意味は、が表す用語であるようなインデックスシーケンスがあることですおよびは。したがって、はと同じインデックスのシーケンスを使用して文字列を作成します。だけが使用するのに対し、は使用し。$P$$P(s,t)$$(i_1,i_2,...,i_m)$$s$$s_{i_1} s_{i_2}...s_{i_m}$$t$$t_{i_1} t_{i_2}...t_{i_m}$$s$$t$$s$$s_i$$t$$t_i$

私たちの文は粗い構造 where where set$\varphi$$\varphi_1 \wedge \varphi_2 \implies \varphi_3$

$$\varphi_1 \stackrel{def}{=} \bigwedge\limits_{i=1}^k P\left(f_{s_i}(e),f_{t_i}(e)\right)$$

$$\varphi_2 \stackrel{def}{=} \forall v,w \hspace{1mm} P(v,w)\rightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^kP(f_{s_i}(v),f_{t_i}(w))$$

$$\varphi_3 \stackrel{def}{=} \exists z\hspace{1mm} P(z,z)$$ 。

私たちの主張は、ポスト対応問題に解決策がある場合に限り、が成り立つというものです。$\varphi$$C$

PCP⟹有効性の証明：

逆に、ポスト対応問題Cにいくつかの解決策があると仮定します。[...]ここで進む方法は、モデル値領域で有限のバイナリ文字列を解釈することです。これは、あるプログラミング言語のインタープリターを別の言語でコーディングする場合と同じです。解釈は、有限のバイナリ文字列のデータ構造に対して帰納的に定義される関数インタープリターによって行われます。$A′$$M′$

$$\text{interpret}(\epsilon) \stackrel{def}{=} e^{M′}$$

$$\text{interpret}(s0) \stackrel{def}{=} {f_0}^{M′}(\text{interpret}(s))$$

$$\text{interpret}(s1) \stackrel{def}{=} {f_1}^{M′}(\text{interpret}(s))$$ 。

[...] [ ]とであることから、 for。[...]、すべてのには for。で始まるこれら2つの事実を使用して、後者の観測を繰り返し使用して、$\text{interpret}(b_1 b_2...b_l) = f_{b_l}^{M′}(f_{b_{l-1}}^{M′}(...(f_{b_1}^{M′}(e{M′})...)))$$M\models\varphi_1$$(\text{interpret}(s_i), \text{interpret}(t_i)) \in P^{M′}$$i = 1,2,...,k$$M′ \models \varphi_2$$(s,t) \in P^{M′}$$(\text{interpret}(ss_i),\text{interpret}(tt_i)) \in P^{M′}$$i=1,2,...,k$$(s, t) = (s_{i_1}, t_{i_1})$

（2.9）。$(\text{interpret}(s_{i_1}s_{i_2}...s_{i_n}),\text{interpret}(t_{i_1}t_{i_2}...t_{i_n})) \in P^{M′}$

[...]したがって、（2.9）はを検証し、したがってます。$\exists{z} P(z,z)$$M′$$M′ \models \varphi_3$

述語論理の有効性が決定不可能であることを証明するために、私が学校から学んだアプローチはHuth＆Ryanの本（第2版、135ページ）に基づいており、PCPから有効性の問題への還元を構築するときに、宇宙の「有限バイナリ文字列」は、「解釈関数」で解釈されます。「解釈関数」は、バイナリ文字列をモデルの関数の複合にエンコードします。

次に、の前件が自明でないために保持しなければならないという事実を使用して、前件の両方の部分式が上記の「解釈関数」で表現できることを示します。そこからは、前の式のinterpretから続くinterpret関数を使用して表現することもできるため、結果も同じになります。$\varphi$

私の質問は、この「解釈機能」の目的は何ですか？以前に考案したφを使用しても同じ結果が得られないのはなぜですか？解釈を使用して要素を表現することで何が得られますか？

また、宇宙に任意の要素が含まれている場合はどうでしょうか。つまり、バイナリ文字列でない場合はどうなりますか？2つのマッピングを構築するだけですか？

あなたが正確に証明しようとしていることから始めましょう。

1つの定数、2つの関数シンボル、および1つのバイナリ述語で構成される署名を扱っています。私たちは、によって表すすなわちバイナリ文字列の順序対のすべてのシーケンス、ポストの対応問題にすべて「はい」インスタンスのセット存在するようなを満たすいくつかのインデックス（は連結を表します）。$\sigma$$e$$f_0,f_1$$P(s,t)$$\mathcal{C}$$(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)$$i_1,...,i_n$$n\in\mathbb{N}$$s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$$\cdot$

インスタンスがポスト通信問題に与えられたことを示したい場合、$c=(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)$

$c\in\mathcal{C} \iff$場合、任意のモデルが解釈される、次に$\mathcal{M}$$\sigma$$\mathcal{M\models\ \varphi(c)}$

ここで、、および$\varphi(c)=\varphi_1(c)\land\varphi_2(c)\rightarrow \varphi_3(c)$

$\varphi_1(c)=\bigwedge\limits_{i=1}^k P\left(f_{s_i}(e),f_{t_i}(e)\right)$、

$\varphi_2(c)=\forall v,w \hspace{1mm} P(v,w)\rightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^kP(f_{s_i}(v),f_{t_i}(w))$、

$\varphi_3(c)=\exists z\hspace{1mm} P(z,z)$。

上記では、バイナリ文字列与えられた、は構成ます。これは、Huth＆Ryanの「Logic in Computer Science」で説明されている述語論理のPCPから妥当性への削減です。$s=s_1,...,s_l$$f_s$$f_{s_l}\circ f_{s_{l-1}}\circ ...\circ f_{s_1}$

は、対応してとの連結とは空の文字列とれます。その場合、は世界での文字列表現と考えることができます。直感的に、は、述語が（おそらく他のケースでも同様ですが、気にしません）（そのは世界におけるいくつかの有限文字列解釈であり、ような一連のインデックスが存在します$f_0,f_1$$0,1$$e$$f_s(e)$$s$$\mathcal{M}$$\varphi_1,\varphi_2$$P(v,w)$$v=f_s(e), w=f_t(e)$$v,w$$s,t$$\mathcal{M}$$i_1...i_n$$s=s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}$および。場合実際にその意味を有する（何が起こるかであるかを満たす）、次いで。$t=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$$P(v,w)$$\mathcal{M}$$\varphi_1\land\varphi_2$$c\in\mathcal{C}\iff \exists z P(z,z)$

証明の方向について尋ねるので、を解釈する任意のモデルを処理する必要があります。この場合、世界は文字列とは関係のない要素を持つことができます（これは2番目の質問に関連します）。これが解釈関数の出番です。すべての有限文字列と世界のサブセットの間の対応を与えます。これは、署名の性質を考えるとかなり自然です。文字列は、要素にマッピングされます。これは、文字列/数値/テーブルまたは任意の要素にすることができます。$\Rightarrow$$\sigma$$\mathcal{M}$$s$$f_s(e)$

我々は、フォームの要素を考える能力がある場合さて、中で（の世界有限文字列として）を、我々は上に行くことができます意味を証明します。場合を満たす我々が述べたように、その後、場合に成り立つ（今は考えることができる文字列として）、およびおよびような一連のインデックスが存在します。したがって、および$f_s(e)$$\mathcal{A}_{\mathcal{M}}$$\mathcal{M}$$\Rightarrow$$\mathcal{M}$$\varphi_1,\varphi_2$$P(v,w)$$v=f_s(e), w=f_t(e)$$v,w$$i_1...i_n$$s=s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}$$t=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$$c\in \mathcal{C}$$i_1...i_n$は、のインデックスのシーケンスで、が成り立つ、そして暗示するので。$s=s_{i_1}...s_{i_n}=t_{i_1}...t_{i_n}=t$$P(f_s(e),f_t(e))$$\mathcal{M}\models \varphi_3$$s=t$$f_s(e)=f_t(e)$