タイムスロットのブロックを売る

与えられたのタイムスロットがあること人々が購入したいです。人が値有する各タイムスロットのために。各ユーザーは、空の可能性があるタイムスロットの連続したブロックを1つしか購入できません。 $n$ $k$ $i$ $h(i,j)\geq 0$ $j$

売り手が達成できる最大値を計算する多項式時間アルゴリズムはありますか？

連続性の制約がなければ、各タイムスロットを最も価値のある人に与えることができます。我々はのタイムスロットの順序固定場合にも、人々を、次いで、動的プログラミングは、最初の最大値を求めるために使用することができる最初の購入人のタイムスロット。 $k$ $0\le i \le k$ $0\le j \le n$

— user11550
ソース

回答:

句で3CNFを考えるとの変数上。両方が仮定及び高々ための式に現れるそれぞれの時間。 $\phi_1,\ldots,\phi_k$ $x_1,\ldots,x_n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $k_i$

頂点が3つの部分で構成される色付きのDAG を設計します。 $G$

"割り当て"頂点はと、、。カラー、 "色"とは、、およびと。 $v_i(j)$ $\bar{v}_i(j)$ $1\leq i\leq n$ $1\leq j\leq k_i$ $v_i(j)$ $x_i(j)$ $\bar{v}_i(j)$ $\overline{x_i}(j)$
"句"頂点、、。色の色で（または場合）（または、RESPは。）であり、 $w_{i'}(j')$ $1\leq i'\leq k$ $j'=1,2,3$ $w_{i'}(j')$ $x_i(j)$ $\overline{x_i}(j)$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $j'$ 番目のリテラル句の、そして、それはだこのリテラルを含む番目の句。 $\phi_{i'}$ $j$
"カット"頂点。上記とは異なる明確な色でそれらを着色します。 $s=s_0,s_1,\ldots,s_n, s_{n+1},\ldots s_{n+k}=t$

エッジは次のとおりです。

、、。 $s_{i-1}v_i(1)$ $v_i(j)v_i(j+1)$ $v_i(k_i)s_i$
、、。 $s_{i-1}\bar{v}_i(1)$ $\bar{v}_i(j)\bar{v}_i(j+1)$ $\bar{v}_i(k_i)s_i$
そして、。 $s_{n+i'-1}w_{i'}(j')$ $w_{i'}(j')s_{n+i'}$

例えば、3CNFから以下のグラフが構築される（エッジ方向が左から右にあります）。 $(x_1 \vee x_2 \vee \overline{x_3})\wedge(x_1 \vee \overline{x_2}\vee x_3)$

異なる頂点カラーを持つ - パスがある場合にのみ、元の3CNFが満足できることを確認するのは難しくありません。 $s$ $t$ $G$

（ところで、色付きDAGの異なる頂点カラーを持つ - パスの存在はであることが副産物です。計算の観点からこの問題に関する多くの文献は見つかりませんでした。コメント！） $s$ $t$ $\textsf{NP-hard}$

それでは、とOPの問題の関係は何ですか？直観的には、マトリックスを設計して、各色が行（人）にマッピングされ、エッジが連続した列（タイムスロット）にマッピングされるようにします。したがって、基本的にマトリックス内で左から右に向かう最大スケジューリングは、 - パスに対応します。 $G$ $h$ $s$ $t$

行列は、インデックスがから始まる列があります。以下constrcutionのに二つの値を満足している。比率はと大きなべき乗になる可能性があります。レッツ $h$ $2n+1+\sum_i 2k_i+k$ $0$ $X$ $Y$ $1\ll X\ll Y$ $X/1, Y/X$ $k$ $n$ 。 $K_i=2i+2\sum_{j=1}^i k_i$

毎、、聞かせて（座標が存在する場合、以下と同じ）。 $s_i$ $0\leq i\leq n$ $h(s_i,K_i)=h(s_i,K_i-k_i-1)=h(s_i,K_i+k_{i+1}+1)=Y$
各について、 ; 毎、聞かせて。 $x_i(j)$ $h(x_i(j),K_{i-1}+j)=X$ $\overline{x_i}(j)$ $h(\overline{x_i}(j),K_{i-1}+k_i+1+j)=X$
それぞれについて、、とリテラル句における、聞かせて。 $\phi_{i'}$ $1\leq i'\leq k$ $x$ $\phi_{i'}$ $h(x,K_n+i')=1$
他のすべてのエントリは0です。

たとえば、上のグラフの例では、対応する行列は

ここで、最大値が場合にのみ、元の3CNFが満たされると主張します。 $(2n+1)Y+\sum_i k_iX+k$

最大値を達成するスケジューリングを検討してください。はを含む正確な列があるため、すべてカバーする必要があります。 2つの選択肢がある列について、スケジューリングがそれを割り当てると仮定します。コラム以来に割り当てる必要があります、連続性により、私たちは列を失うする必要がに $(2n+1)$ $h$ $Y$ $K_i+k_i+1$ $Y$ $s_i$ $K_i$ $s_i$ $K_i+1$ 。スケジューリングが列を割り当てる場合も同じことが起こります。 $K_i+k_i$ $K_i+k_i+1$ $s_{i+1}$

したがって、値を持つためには、変数の割り当てに対応する、マトリックス内の残りの利用可能なすべて選択する必要があります。したがって、の残りの値は、割り当てがすべての句を満たす場合にのみ実現可能です。 $\sum_i k_iX$ $X$ $k$

結論として、法的スケジューリングの最大値の決定はます。これが、アルゴリズムを見つけるための以前の試みがすべて失敗した理由かもしれません。 $\textsf{NP-hard}$

— ウィラード・ジャン
ソース

しかし、例の行列では、私が選ぶ場合

及び

、私はまだ客観的に得ることができます。私が間違っているのは何ですか？また、

で

右に1列であるべきである

で

左側になければならない一つの列

\bar{x_{1}}

$\overline{x_1}$

\bar{x_{2}}

$\overline{x_2}$

x_{3}

${x_3}$

X

$X$

\bar{x_{1}} (1)

$\overline{x_1}(1)$

X

$X$

\bar{x_{1}} (2)

$\overline{x_1}(2)$

— rotia

上の手段は、あなたが選択する必要があります左はい@rotia、およびという

持っている

。したがって、これは満足のいく割り当て

ます。

x_{1}, x_{2}, \bar{x_{3}}

$x_1,x_2,\overline{x_3}$

4 X

$4X$

x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} = 0

$x_1=x_2=1,x_3=0$

— ウィラードチャン

あなたは「と仮定を明確することができ

大きなリテラルの出現二つの数字の1が、

して

。」手段？リテラルの出現回数は？それは句/式のどこに現れるのか、それとも式の何回目に現れるのか？さ

リテラルまたは数？

k_{i}

$k_i$

x_{i}

$x_i$

\bar{x_{i}}

$\overline{x_i}$

k_{i}

$k_i$

— DW

@DW

は数値です。私の表現は確かに明確ではありませんでした。編集しました。

k_{i}

$k_i$

— ウィラードチャン

@WillardZhanはい。しかし、これらの変数を選択すると、式の値よりも大きい値を取得できます。たとえば、式iに従って

および

に設定すると、iは450ポイントになります（

は節の数であると仮定）。しかし、選択することで、

、私は右の4つのものを選ぶことにより、452ポイントを得ることができます

Y = 60

$Y = 60$

X = 7

$X = 7$

k

$k$

x_{1}, x_{2}, \bar{x_{3}}

$x_1,x_2,\overline{x_3}$

— rotia

このソリューションには問題があり、すぐに削除されます。templatetypedefのコメントを参照してください。

最小コストのflowを使用して、多項式時間でこれを解決できます。以下では、すべてのエッジにユニット容量があります。

ソース頂点とターゲット頂点作成します。単位のフローをから送信します。 $s$ $t$ $k$ $s$ $t$
作成頂点スロット間の時間ポイントを表すために、および有向エッジそれぞれについてコスト0を有します。 $n+1$ $v_0, \dots, v_n$ $v_jv_{j+1}$ $0 \le j < n$
各個人について、以下を作成します。
- 副ソース頂点は、及びサブシンク頂点。 $s_i$ $t_i$
- すべてのための、からエッジへコストを有する（我々は場合は0であることを取る）。 $0 \le j < n$ $s_i$ $v_j$ $\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$ $j=0$
- すべてのための、からエッジためコストを有する。 $1 \le j \le n$ $v_j$ $t_i$ $-\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$
- コスト0 エッジ。 $ss_i$
- コスト0 のエッジ。 $t_it$

このネットワークの最小コストフローの総コストは、可能な限り最高の利益のマイナスに等しくなります。（このコストは負になりますが、それは問題ではありません。）すべての人が単一のエッジを持ち、をフロー1で、単一のエッジがにフロー1で到着する最適な統合ソリューションがあります。、およびまたはいずれかに入射する他のすべてのエッジには0のフローがあります。人のためにこれらのフロー-1のエッジがしてみましょうあることとその後： $i$ $s_i$ $t_i$ $s_i$ $t_i$ $i$ $s_iv_j$ $v_kt_i$ $k \ge j$ 、頂点間の唯一のパスは添え字を増やすパスであるためです。場合場合、人何のタイムスロットを割り当てられていません。それ以外の場合、個人はタイムスロットのブロックが割り当てられます。 $v$ $k = j$ $i$ $i$ $j+1, \dots, k$

直感的に、各人はから1単位のフローを「取得」し、開始時間（エッジ）と終了時間（エッジ）を選択します。これらの開始エッジと終了エッジは、ネットワーク内でゼロ以外のコストを持つ唯一のエッジであり、ブロックの値を2つのプレフィックス合計の差として表すことができます。頂点間のエッジのユニット容量は、2人が同じタイムスロットを使用するのを防ぐように機能します。 $s$ $j+1, \dots, k$ $v$

興味深いことに、値が負の場合でも、この定式化は機能します。 $h(i, j)$

— j_random_hacker
ソース

一部の人

がソースから別の人のシンクへ、またはその逆にルートを取る場合、これは失敗する可能性がありますか？

i

$i$

— templatetypedef

@templatetypedef：あなたは正しいと思う。この回答はすぐに削除します。代わりにこの構造はどうですか：以前と同じ頂点とエッジがありますが、すべてのエッジ

削除することにより、人々の「パイプライン」（

値が増加する順）に単一のフロー単位を「スレッド」しようとします以外

とすべてのエッジ

を除く

、およびエッジを追加すること

巨大な負のコストで

それぞれについて

i

$i$

s s_{i}

$ss_i$

s s_{1}

$ss_1$

t_{i} t

$t_it$

t_{k} t

$t_kt$

t_{i} s_{i + 1}

$t_is_{i+1}$

- M

$-M$

1 \leq i < k

$1 \le i < k$ 。

Sはすべて訪問する流れの単一ユニットを強制的に

これらの「パイプライン」のエッジのいずれか最適解です。

- M

$-M$

k - 1

$k-1$

— j_random_hacker

@j_random_hackerその後、

人の順序付けを強制します。

k

$k$

— チャオ徐

@ChaoXu：私はそうは思いません：人へのブロックの割り当てでは、割り当ては人ごとに昇順でリストできます。（

が人

割り当てられた最初のブロックである

で終わるブロックが割り当てられている人

禁止するものはないことに注意してください。）しかし、私は最初の人に影響を与えた問題の親relativeが...また、このいずれかを影響しよう

i^{'} > i

$i' > i$

j^{'} < j

$j' < j$

j

$j$

i

$i$

— j_random_hacker

s_{i} v_{j}

$s_iv_j$

s_{i}

$s_i$

i

$i$