SATやその他の決定問題に対する近似アルゴリズムがないのはなぜですか？

NP完全決定問題があります。問題のインスタンスが与えられた場合、問題が実行可能な場合はYESを出力し、それ以外の場合はNOを出力するアルゴリズムを設計したいと思います。（もちろん、アルゴリズムが最適でない場合、エラーが発生します。）

このような問題に対する近似アルゴリズムは見つかりません。私は特にSATを探していましたが、ウィキペディアの近似アルゴリズムに関するページで次のことがわかりました：アプローチの別の制限は、充足可能性などの「純粋な」決定問題ではなく、最適化問題にのみ適用されることです。 。

たとえば、なぜ近似比を、アルゴリズムが犯す間違いの数に比例するように定義しないのですか？貪欲で準最適な方法で決定問題を実際にどのように解決しますか？

近似アルゴリズムは最適化問題専用であり、決定問題用ではありません。

決定問題を解決しようとするときに、近似比をアルゴリズムが犯す間違いの割合と定義しないのはなぜですか？「近似比」は、明確に定義された標準的な意味を持つ用語であり、別の意味を持ち、2つの異なることに同じ用語を使用するのは混乱するためです。

OK、ある決定問題について、アルゴリズムが犯す間違いの数を定量化する他の比率を定義できますか？まあ、それを行う方法は明確ではありません。その分数の分母は何でしょうか？または、別の言い方をすれば、問題のインスタンスの数は無限になり、アルゴリズムによっては正しい答えが得られ、他の場合は間違った答えが得られるため、最終的には次の比率になります。 「無限大で分割されたもの」であり、それは無意味であるか、定義されていません。

あるいは、サイズ問題のあるインスタンスで、をアルゴリズムのミスの割合として定義できます。次に、の制限をとして計算できます（そのような制限が存在する場合）。これは明確に定義されます（制限が存在する場合）。ただし、ほとんどの場合、これはそれほど有用ではありません。特に、問題のあるインスタンスの分布が暗黙的に想定されます。ただし、現実の世界では、問題のあるインスタンスの実際の分布は均一ではない場合があります。多くの場合、均一ではありません。したがって、この方法で得られる数値は、期待するほど有用ではないことがよくあります。多くの場合、アルゴリズムがどれほど優れているかを誤解させる印象を与えます。$r_n$$n$$r_n$$n \to \infty$

人々が難治性（NP困難）に対処する方法の詳細については、難治性への対処：NP完全問題を参照してください。

意思決定の問題に近似比のようなものが表示されない理由は、一般的に意思決定の問題について尋ねられる質問の文脈では一般に意味をなさないためです。最適化設定では、「近くに」いると便利なので、意味があります。多くの環境では、意味がありません。離散対数問題でどれくらいの頻度で「近くにいる」かを見るのは意味がありません。グラフ異性体を見つけるのに「近い」頻度を確認しても意味がありません。同様に、ほとんどの意思決定問題では、正しい決定に「近い」ことは意味がありません。

現在、実際の実装では、問題のどの部分を「迅速に」決定でき、どの部分が決定できないかを知ることが役立つ場合が多くあります。ただし、最適化とは異なり、これを定量化するための万能の方法はありません。あなたがお勧めのようにして、統計的にそれを行うことができますが、唯一のあなたの入力の統計的分布を知っていれば。ほとんどの場合、意思決定の問題に興味がある人は、そのような分布を持つことはそれほど幸運ではありません。

ケーススタディとして、停止の問題を検討してください。停止の問題は決定不能であることが知られています。コンパイラを作成している場合に解決できるのは本当に便利な問題なので、残念です。ただし、実際には、ほとんどのプログラムは、停止している問題の観点から分析するのが非常に簡単であることがわかります。コンパイラはこれを利用して、これらの状況で最適なコードを生成します。ただし、コンパイラは、特定のコードブロックが決定できない可能性があることを認識しなければなりません。「おそらく決定可能」であるコードに依存するプログラムは、トラブルに巻き込まれる可能性があります。

ただし、これらの停止問題の特定のケースを解決する際にコンパイラーがどれだけうまく行っているかを判断するためにコンパイラーが使用するメトリックは、特定の素数のペアが攻撃に対して許容できるほど強化されているかどうかをテストするために暗号化プログラムが使用するメトリックとは大きく異なります。すべてのソリューションに適合するサイズはありません。このようなメトリックが必要な場合は、特定の問題スペースとビジネスロジックに合わせて調整する必要があります。

既存の答えに加えて、意思決定問題のおおよその解決策があることが理にかなっているが、あなたが考えるかもしれないものとは異なる動作をする状況があることを指摘させてください。

これらのアルゴリズムでは、2つの結果のうち1つだけが確実に決定されますが、もう1つは正しくない可能性があります。たとえば、素数のMiller-Rabin検定を使用します。数値が素数ではないと判定された場合、その結果は確実です。しかし、他の場合では、それは数がおそらく素数であることを意味するだけです。投資する計算時間に応じて、結果に対する自信を高めることができますが、非素数の場合のように100％になることはありません。

これは、決定できない問題に取り組む場合に特に強力です。特定のコードの停止問題を解決しようとするツールを作成できます。プログラムが無限にループしないという証拠を見つけることができれば、100％の確実性でそれを主張できます。そのような証拠が見つからない場合は、プログラム制御フローが複雑すぎてツールを分析できない可能性がありますが、永久にループするという証拠ではありません。制御構造を単純化することにより、ツールが特定の停止を証明するのに十分な単純な同等のプログラムを作成できる場合があります。