私たちはより良いことができますか

この質問に対する答えは「いいえ」であると、私は（愚かにも判明しました）確信しています。なぜ私は尋ねるのですか？

それは、EPFLの並列プログラミングコースのAleksandar Prokopec博士が、さまざまな特性を主張するデータ構造を導入しているためです。これらの特性は保持している場合、そうです、私により良いでバランスの取れたバイナリツリーを構築することが可能でなければならないこと時間。$O(n\log n)$

私はこれを信じていないので、私の考えのどこに欠陥があるのだろうと思います。

データ構造は、conc-treeリストです。標準形式では、通常のバイナリツリーのように見えconcat、ノードの左右のサブツリーの高さが2以上異なることがないことを保証する操作が付属しています。予想通りconcat、複雑さはです。$O(\log n)$

しかし、リストと呼ばれるコンクツリーリストのビルダーバリアントがありAppendます。このバリアントは、複数のサブツリーで一時的な高さの違いを可能にします。このバリアントでは、償却済み時間の追加が要求されます。$O(1)$

そのため、要素を追加すると複雑さが必要になるようです。$n$$O(n)$

ただし、このバリアントの特徴は、が2の累乗であるときは常に、完全にバランスのとれた二分木（これまでに挿入されたすべての要素を含む）になることです。したがって、一時的な不均衡は許容されますが、ツリーは2挿入のすべてのパワーで均衡になります。$n$

このバリアントでは、ノードと呼ばれる新しいクラスのノードAppendが導入され、サブツリーの高さが1つ以上異なることが許可されているノードです。ただし、挿入ごとに、このような一時ノードはすべて削除されます。$2^k$

Wikipediaのページのページは、（基本的なデータ構造の記述と見かなり簡潔なアルゴリズムを説明しappend、特定のメソッドを）。

したがって、が2の累乗の場合、要素を挿入するためのコストはあり、バランスのとれたバイナリツリーを構築しました。またはそうです。$n$$O(n)$

で別の質問私は、特定の値のためのアルゴリズムのためのステップ数を述べることができる場合、私は効果的に」尋ねのために例えば、、整数である、私は複雑さを述べるできるようにするには、この十分ですすべての値？」$n$$n = 2^k$$k$$n$

Yuval Filmusの答えから、答えは「いいえ」であることがわかりますが、「多くの場合、はで単調であると予想されます。その場合、控除は成立します。」$T$$n$

したがって、この場合、要素の挿入に複雑さあり、要素ごとに平衡バイナリツリーがある場合、このコンクツリーバリアントアプローチで平衡バイナリツリーを構築するコストは。$n$$O(n)$$2^k$$O(n)$

ここで何が問題になっていますか？正直に言うと、このバリアントに対して要求された償却済み追加時間がわかりません。多くの場合、挿入にはコストがかかりますが、一時ノードで何が起こっているかを見ると、全体的な挿入コストは償却されたように見え。$O(1)$$O(1)$Append$O(\log n)$

これが当てはまる場合、バランスの取れたバイナリツリーを構築すると、驚くほどのコストがかかります。$O(n\log n)$

長い質問で申し訳ありませんが、問題のアルゴリズムについて詳しく説明していません。代わりに、ウィキペディアを見回してください。

私があなたの質問を正しく理解していれば、もちろんはい、あなたはバランスのとれた二分木を $O(n)$時間。ここに簡単な疑似コードがあります：

L = [2, 4, 1, 3, 5, 6, 8]
q = Queue()
node root{value = L[0]}
q.add(root)
k = 1
while !q.isEmpty:
  n = q.pop
  if k < L.size:
     n.left = node{value=L[k]}
     k++
     q.add(n.left)
  if k < L.size:
     n.right = node{value=L[k]}
     k++
     q.add(n.right)

このコードが線形時間で実行され、バランスのとれたバイナリツリーが構築されることは、簡単に理解できます。

あなたができないことは、バランスのとれた二分探索（順序付け）ツリーを$O(n)$時間（値の比較のみを使用）。上記のアルゴリズムは、ルートの値がすべてのサブツリーについて、左側のサブツリーのすべての値以上であり、右側のサブツリーのすべての値以下であることを保証しません。

上記のアルゴリズムはそれを保証せず、conc-treeも保証しません（アペンドとプリペンドを使用）。ウィキペディアのページから、それは保証するだけです$O(1)$アペンドとプリペンドの償却時間。インサートの場合、保証できるのは$O(\log n)$ 時間。

aelguindyの答えに追加：並べ替えられていないn個のアイテムを任意の種類のデータ構造に入れてから、それらをO（n log n）の合計時間よりも並べ替えられた順序で列挙することはできません-可能であれば並べ替えることができるためO（n log n）時間より良い配列。

「ソートされた」データ構造を、O（n）時間でソートされた順序で列挙できるデータ構造として定義すると、O（n log n）よりも速くソートされたデータ構造を作成できません。これには、バランスとアンバランスの両方のソート済みツリーが含まれます。