次の問題をSATに減らす

ここに問題があります。与えられた各。すべてのに対してとなるようなサイズが最大サブセットがありますか？この問題をSATに還元しようとしています。解決策の私の考えは、それぞれに変数を持たせることです。場合、各に対して句ます。次に、これらのすべての句をまとめます。しかし、これは、という制約を表していないため、明らかに完全なソリューションではありません。 $k, n, T_1, \ldots, T_m$ $T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$ $S \subseteq \{1, \ldots, n\}$ $k$ $S \cap T_i \neq \emptyset$ $i$ $x_i$ $n$ $T_i$ $(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$ $T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$ $S$ 最大で $k$ 要素が必要です。さらに変数を作成する必要があることは知っていますが、どのようにすればよいかわかりません。そこで、2つの質問があります。

ソリューションの私のアイデアは正しい軌道に乗っていますか？
カーディナリティ $k$ 制約を表すために使用できるように、新しい変数をどのように作成する必要がありますか？

complexity-theory reductions np-hard

— アデンドン
ソース

ご注意：問題はHITTING SETとして知られています。これはSET COVER問題と同等の定式化です。

— A.シュルツ

回答:

サイズハイパーグラフの横断を計算しようとしているようです。つまり、はハイパーグラフであり、は横断です。標準の変換では、句をそのまま表現し、長さの制限を基数制約に変換します。 $k$ $\{T_1,\dots,T_m\}$ $S$

したがって、既存のエンコーディング、つまりを使用し、エンコードする句を追加します。 $\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$ $\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$ はカーディナリティー制約です。SATへのさまざまなカーディナリティー制約の変換があります。

最も単純だがかなり大きなカーディナリティ制約の変換は、。このように、各選言は制約表します- サイズk + 1 ののすべてのサブセットに対して。つまり、k個を超える変数を設定できる方法がないことを保証します。これは多項式サイズではないことに注意してください $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$ $\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$ $X$ $\{1,\dots,n\}$ $k$

多項式サイズである $k$ 、よりスペース効率の良いカーディナリティ制約変換に関する論文へのリンク：

擬似ブール制約のSATへの変換-NiklasEénand NiklasSörensson、JSAT vol 2（2006）、pg 1-26（良い調査）。
ブールカーディナリティ制約の効率的なCNFエンコーディング -Olivier Bailleux and Yacine Boufkhad、Proceedings of Principles and Practice of Constraint Programming 2003、LNCS vol 2833、pg 108-122（翻訳を実装するのはかなり簡単です）。
ブール基数制約の最適なCNFエンコーディングに向けて -Carsten Sinz-制約プログラミング2005の原理と実践の手順、LNCS 3709、pg 827-831。
カーディナリティ制約のロバストなCNFエンコーディングに向けて -Joao Marques-SilvaおよびInêsLynce、「Constraint Programming 2007の原理と実践」、LNCS 4741、pg 483-497の手順。

このような問題を実際に解決することに興味がある場合は、それらを疑似ブール問題として定式化し（疑似ブール問題に関するwiki記事を参照）、疑似ブールソルバーを使用する（疑似ブール競合を参照）ことをお勧めします。このように、カーディナリティー制約は単なる疑似ブール制約であり、言語の一部です。できれば、疑似ブールソルバーがそれらを直接処理するため、より効率的に処理できます。

— MGwynne
ソース

リンクが壊れた場合に人々がドキュメントを見つけることができるように、すべてのリンクを（少なくとも著者とタイトル）簡潔に説明してください。可能であれば、DOIを使用するのがおそらく最善です。

— ラファエル

@ラファエル良い点！そろそろそれをやったほうがいいと思います。すべてのリンクを更新しました。SpringerがDOIを提供しているかどうかはわかりませんが、リンクが壊れた場合にそれらを見つけるのに十分な情報があるはずです。注：アクセスの問題を回避するために、Springerの公式PDFにリンクしていません。

— MGwynne

しかし、与えた削減は多項式時間ではないようです。

— アデンドン

@AdenDong多項式については何も言わなかった;）。単純な私は言及カーディナリティ制約翻訳は多項式ではない

（ただし、固定のためである

）。私はリストの論文に与えられた基数制約翻訳はあるの多項式

-新しい変数を使用しました。これを明確にするために回答を更新しました。

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— MGwynne

MGwynne、私は将来のために有料版であっても公式DOIを常にリンクする傾向があり、さらに無料版もあります。しかし、今のところ、誰でも論文を見つけることができるので、まったく問題ありません。

— ラファエル

通常のSATに絶対に設定されていない場合、あなたのアイデアはすでにMIN-ONES（正のCNF式）への還元です。これは基本的にSATですが、最大で変数をtrueに設定できます（厳密には最適化です）真の変数の数を最小化するバージョン）。 $k$

あなたはパラメータ化された複雑さの方向に向かう場合には同様に、あなたはすでに基本的にWSAT（持っている）、表記、前と同じ、すべての正のCNF式（のクラスはあなたを助けるかもしれないですが調査）。この場合、どのパラメーター化があなたのケースに役立つかを見始める必要があります。 $\Gamma_{2,1}^{+}$ $\Gamma_{2,1}^{+}$

明示的な縮約を探していると思いますが、そうでない場合は、クック・レビンの定理にいつでも戻ることができます。

— ルーク・マティソン
ソース