コルモゴロフの複雑さに基づく非規則性の証明

クラスで私たちの教授は私たちに非規則性を証明するための3つの方法を示しました：

Myhill–Nerodeの定理
通常言語用の補題のポンピング
コルモゴロフの複雑さに基づく非規則性の証明

さて、最初の2つであるMyhill-Nerodeの定理とPumping補題はよく理解でき、最初の2つの方法の演習も行うことができました。しかし、私は3番目のものを理解しませんでした。3番目の方法の定義は次のとおりです。

してみましょう正規言語であること。ましょすべてのため。定存在のすべてのためのように、 $\ L \subseteq (\Sigma_{bool})^*$ $\ L_x=\{ y \in (\Sigma_{bool})^* | xy\in L \}$ $\ x \in (\Sigma_{bool})^*$ $\ c$ $\ x,y \in (\Sigma_{bool})^*$

$\ K(y) \leq \lceil log_2(n+1)\rceil+c$

もし言語のn番目の単語であり、。 $\ y$ $\ L_x$

この定理を使用して言語が正規でないことを証明する方法がわかりません。実際にはコンセプトがわかりません。以前は、オブジェクトの最短のコンピュータープログラムの長さを決定するために、コルモゴロフの複雑さを使用しました。この定理で非規則性を証明するにはどうすればよいですか？そして、その背後にある考えは何ですか？

どうもありがとう！

— ガンマアルファ
ソース

回答:

私の知る限り、これは通常の言語を特徴付けるために使用される「古典的な」アプローチの1つではありません。

このアプローチについては、Ming LiとPaul MB Vitanyiによる「コルモゴロフの複雑さによる形式言語理論への新しいアプローチ」で説明されています（セクション3.1を参照）。

それらは、ポンプ補題を使用する代わりにあなたが言及したステートメントを使用できるいくつかの例を示します。たとえば、非正則性を証明すると、 $L$

。 $L=\left\{1^p|\text{p is prime}\right\}$

いくつかを考える、 $x\in\Sigma^*$ 。選択します。ここで、は番目の素数です。ましょうの最初の単語である。明らかに、ある素数。あなたが言及した声明によると、（ $L_x=\left\{y| \hspace{1mm} xy=1^p \land \text{p is prime}\right\}$ $x=1^{p'}$ $p'$ $k$ $y_1$ $L_x$ $y_1=1^{p-p'}$ $p$ $k+1$ $K(y_1)\le c$ ）、のみに依存する定数について（論文参照）。 $n=1$ $c$ $L$

これはすべてのに当てはまるため、のすべての要素のコルモゴロフ複雑度を制限できます同じ一定のにより。ただし、実際には連続する素数間の差で構成されていることがわかりました。つまり、 $x$ $S=\left\{y_1^x| x=1^p \text{ for prime $p$ } \land \text{$y_1^x$ is the first string in $L_x$}\right\}$ $c$ $S$ $S=\left\{1^{p_{k+1}-p_k} | k\ge 1\right\}$ ここで、は番目の素数です。がコルモゴロフの複雑さを制限できないことを知っているので（素数の差が勝手に大きくなる）、これはが規則的ではないことを意味します。 $p_k$ $k$ $S$ $L$

— アリエル
ソース

私はこのテクニックを知りませんでした。私たちの参照質問に答えを追加する気はありますか？

— ラファエル

はい、後で追加できます。私もこのテクニックに気付いていなかったと認めざるを得ませんが、opの質問を調べた後でこのペーパーに出くわしました。他の方法と比べて、この手法がどれほど人気があるかはわかりません。Arxivの論文は実際に1995年にSIAMで公開されたので、最初は思ったほど新しいものではありません（まだ、興味深い、独自のアプローチ）。

— 2016年

1^{p - p^{'}}

$\ 1^{p-p'}$

L_{x}

$\ L_x$

y_{1} = 1^{p^{'} - p}

$\ y_1 = 1^{p'-p}$

x = 1^{p^{'}}

$x=1^{p'}$

L

$L$

x

$x$

y_{1}^{x} = 1^{p - p^{'}}

$y_1^x=1^{p-p'}$

p

$p$

x y_{1}^{x} = 1^{p^{'} + (p - p^{'})} = 1^{p}

$xy_1^x=1^{p'+(p-p')}=1^p$

x

$x$

y_{1}^{x}

$y_1^x$

y_{1}^{x}

$y_1^x$

$L_{ww} = \{ww \mid w \in \{0,1\}^* \}$

コルモゴロフの複雑性の役割をよりよく理解するのに役立つことを期待して、非常に非公式な証明を提供します。

$D$ $L_D$ $x = yz$ $y$ $x$ $L_D$ $z$

$L_{ww}$ $D_{ww}$

$y$ $|y| = n \gg |D|$

$x=y z$ $y$ $D_{ww}$ $q_i$ $z$ $x = y z$ $yz = ww$

 Let y = 10110
       y   z
 x = 10110 0  >> rejected
 x = 10110 1  >> accepted  (w=101, |y|>|z|)
 x = 10110 00 >> rejected
 x = 10110 01 >> rejected
 ....
 x = 10110 10110 >> accepted  (w=10110,  |y|=|z| !!!)
 ....
 x = 10110 1101101 >> accepted (w=101101, |z|<|y|

$z$ $|y|$ $z = y$

$D_{ww}$ $q_i$ $y$ $|y|$ $D_{ww}$ $2^{|y|}$ $z=y$

$\ell = |D_{ww}| + \log{i} + \log y + c$

$|D_{ww}|$ $D_{ww}$ $\log i$ $q_i$ $\log y$ $y$ $c$

$y$ $y$ $\ell < |y|$ $y$

— ヴォル
ソース

私はこのテクニックを知りませんでした。私たちの参照質問に答えを追加する気はありますか？

— ラファエル