ソートされた配列に対するヒープの利点は何ですか？

私はヒープにかなり慣れていないので、ソートされた配列がデフォルトで最小/最大プロパティを提供しているように見えるときに、最小ヒープと最大ヒープがツリーとして表される理由に頭を抱えようとしています。

そしてフォローアップ：クイックソートのようなアルゴリズムがソートを非常にうまく処理する場合、ヒープへの挿入の複雑さを処理する利点は何ですか？

コンテキスト：私はPythonでCLRS / MIT 6.006を使用していて、葉の値の整数表現しか見ていません。これは、各リーフに簡単にソートできない構造体が含まれているCなどの言語でより適切ですか？

$\small \texttt{find-min}$ （それぞれ $\small \texttt{find-max}$）、 $\small \texttt{delete-min}$ （それぞれ $\small \texttt{delete-max}$）および $\small \texttt{insert}$ は、最小ヒープ（または最大ヒープ）の最も重要な3つの操作であり、通常、 $\small \mathcal{O}(1)$、 $\small \mathcal{O}(\log n)$ そして $\small \mathcal{O}(\log n)$ バイナリツリーで最小/最大ヒープを実装する場合は、それぞれ。

代わりに、ソートされた（減少しない）配列によって最小ヒープを実装するとします（最大ヒープの場合も同様です）。 $\small \texttt{find-min}$ そして $\small \texttt{delete-min}$ の $\small \mathcal{O}(1)$ 複雑さ $\small \texttt{insert}$ ポインタを維持できるため、アプリケーションでは必要ありません $\small p$これは常に配列の最小要素を指します。最小要素が削除されたら、移動するだけです$\small p$ 配列の次の要素への1ステップ。

ソートされた配列への挿入の扱いは簡単ではありません。新しい要素が与えられた$\small e$、バイナリ検索を使用して配列内の位置を特定し、挿入することができます。しかし、ポイントは、そこに挿入したい場合、多くの古い要素を移動する必要があるということです（$\small \mathcal{O}(n)$）新しい要素が存在するための空席を作るために周り。これはほとんどのアプリケーションにとって非常に非効率的です。要素が挿入された後に配列を再ソートすることもできます。これには、$\small \mathcal{O}(n\log n)$ 時間。

最後のポイントは、データ構造を実装する方法は、実際にはアプリケーションによって異なります。NO、単一の実装では、すべての場合に最適です。アプリケーションを分析し、最も頻繁な操作を見つけて、適切な実装を決定します。

質問に答えるには、実行するさまざまなアクションとその頻度を定義し、各アクションの時間の複雑さを評価する必要があります。

全体的にパフォーマンスが高い方法は、個々の複雑さと、各アクションが実行される頻度によって異なります。

配列の並べ替えは、非常に複雑です。ヒープ操作は非常に安価であるため、実際には適切なソートの実装に使用されます。ヒープを使用して最小の要素を見つける方が、配列をソートするよりもはるかに高速です。最小要素と最大要素の2つのヒープは、はるかに高速です（ただし、そのような状況は非常にまれです。たとえば、競馬では誰もが勝者を知りたがりますが、誰が最後に来るかは気にしません）。

ヒープが完全にソート配列を完全に打つ場合とは、少数のアイテムが削除または追加される状況であり、変更のたびに、どちらが最小の要素であるかを再度知りたい場合です。