DOUBLE-SATがNP完全であることの証明

参考のために、よく知られているSAT問題をここで定義します。

DOUBLE-SAT問題は次のように定義されます

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

NP完全であることをどのように証明しますか？

証明する方法は複数あります。

1つの解決策を次に示します。

明らかダブルSATが属する次のようにNTMダブル-SATを決定することができるので、：ブール入力式でφ （X 1、... 、xはN）、非決定的2つの割り当てを推測し、両方満たしているかどうかを確認します${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$。

Double-SATが完全であることを示すために、次のようにSATからDouble-SATに縮約します。${\sf NP}$

入力：$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. 新しい変数導入します。$y$
2. 出力式。$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

場合 SATに属し、その後、φは、少なくとも1つの満足割り当て、従って有するφ '（X 1、... 、X N、Yを）我々が満たすことができるように少なくとも2つの満足割り当てを有します新しい句（Y ∨ ˉ Yのいずれかで割り当てることにより）、Y = 1またはY = 0を新たな変数にYので、φ '（$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$$x_1$、...、、y）∈Double -SAT。$x_n$$y$$\in$

一方、、その後明らかにφ '（X 1、... 、X N、Y ）= φ （X 1、... 、xはN）∧ （Y ∨ ˉ yは）ので、いずれか全く満足割り当てを有していないφ '（X 1、... 、$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$。

$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$, the formula $\varphi \lor f(\varphi)$ has at least twice the number of satisfying assingments as $\varphi$, with $f$ a homomorphism that renames all variables to new names.