ランダムに構築された二分探索木が対数の高さを持っていることの証明

どのようにランダムに組み込まれての期待の高さということを証明しますバイナリ検索ツリーと$n$ノードがある$O(\log n)$？CLRS アルゴリズム入門（12.4章）には証明がありますが、理解できません。

まず直感的に考えてみましょう。最良のシナリオでは、ツリーは完全にバランスが取れています。最悪のシナリオでは、ツリーは完全に不均衡です。

$p$$n=\sum_{i=0}^{h}2^i =2^{h+1}-1$$h$$n\le2^{h+1}-1\rightarrow h\le\lceil\log_2(n+1)-1\rceil\le\lfloor log_2 n\rfloor$$O(\log n)$$n-1\rightarrow O(n)$

$\{ 1,2,\dots,n\}$$n$

$$height_{tree}=1+\max (height_{left\space subtree}, height_{right\space subtree})$$ $i^{th}$$i-1$$n-i$$h_n=1+\max (h_{i-1},h_{n-i})$$\operatorname{E}[h_n]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[1+\max (h_{i-1},h_{n-i})]$

$Y_n=2^{h_n}$$Y_n=2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})$。

$$\operatorname{E}[Y_n]=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\operatorname{E}[2\times\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{E}[\max (Y_{i-1},Y_{n-i})]$$ $\frac{1}{n}$$\sum_i ci=c\sum_i i$$\operatorname{E}[ax]=a\operatorname{E}[x]$$\max$$X$$Y$$\operatorname{E}[\max(X,Y)]\le\operatorname{E}[\max(X,Y)+\min(X,Y)]=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y]$ $$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(\operatorname{E}[Y_{i-1}]+\operatorname{E}[Y_{n-i}])=\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}2\operatorname{E}[Y_{i}]$$ $i=1$$Y_{i-1}=Y_{0}$$Y_{n-i}=Y_{n-1}$$i=n$$Y_{i-1}=Y_{n-1}$$Y_{n-i}=Y_{0}$$Y_0$$Y_{n-1}$$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_{i}]$

この時点で、CLRSは帰納証明を数学的な経験のレパートリーから引き出します。ユーザーが証明するためにユーザーに残したIDが含まれています それらの選択について重要なことは、その最大項がであることであり、ように指数関数的な高さを使用していることを思い出してください。おそらく誰かがこの特定の二項式が選ばれた理由をコメントするでしょう。ただし、一般的な考え方は、一定のに対して式を繰り返しの上からバインドすることです。$\operatorname{E}[Y_n]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}$$\sum_{i=0}^{n-1}\binom{i+3}{3}=\binom{n+3}{4}$$n^3$$Y_n=2^{h_n}$$h_n=\log_2n^3=3\log_2n\rightarrow O(\log n)$$n^k$$k$

1つのライナーで終了するには：

$$2^{\operatorname{E}[X_n]}\le \operatorname{E}[Y_n]\le \frac{4}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{E}[Y_i]\le\frac{1}{4}\binom{n+3}{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{24}\rightarrow \operatorname{E}[h_n]=O(\log n)$$